b) Dê a interpretação fisica do problema e explique solução encontrada frente ao problema que representa.
c) Qual é a expressão da solução para ?
Passo 1
O enunciado apresenta o P.V.I.
É a equação de um oscilador harmônico amortecido submetido a um impacto (impulso) no instante . Vamos resolver em duas etapas: primeiro para (sem forçamento), depois para usando a condição de salto gerada pelo .
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
a equação característica é
Logo a solução geral é
Impondo e temos
em dá .
Portanto, para ,
Passo 3
No instante há o impulso . Integrando a equação em torno de de até , obtemos a continuidade de e o salto em :
Usando a solução anterior:
Logo
y(pi^+)= -e^-pi, y'(pi^+)=1
Passo 4
Para t>pi definimos tau = t-pi e a solução homogênea
y2(tau) = e^-taul(Ccostau + Dsintaur)
Em tau=0 (i.e.\ t=pi) temos
y2(0)=C = -e^-pi, y2'(0)= -C + D = 1 ;Rightarrow; D = 1 - e^-pi
(b) Fisicamente, trata-se de um sistema massa-mola-amortecedor inicialmente em repouso deslocado de 1 com amortecimento crítico subcrítico. No instante t=pi aplica-se um choque rápido (modelo do impulso de<a), que não altera a posição y mas aumenta instantaneamente a velocidade em 1. A expressão para t>pi é o movimento amortecido livre com a nova velocidade inicial.