a) Encontre a solução do seguinte P.V.I.:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=de<a(t-pi), y(0)=1, y^prime(0)=0
b) Dê a interpretação fisica do problema e explique solução encontrada frente ao problema que representa.
c) Qual é a expressão da solução para t >= pi ?

Passo 1

O enunciado apresenta o P.V.I.
y'' + 2y' + 2y = de<a(t - pi), y(0)=1, y'(0)=0
É a equação de um oscilador harmônico amortecido submetido a um impacto (impulso) no instante t=pi. Vamos resolver em duas etapas: primeiro para 0<= t<pi (sem forçamento), depois para t>pi usando a condição de salto gerada pelo de<a.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + 2y' + 2y = 0
a equação característica é
lambda^2 + 2lambda + 2 = 0Longrightarrowlambda = -1 pm i
Logo a solução geral é
yh(t) = e^-tl(Acos t + Bsin tr)
Impondo y(0)=1 e y'(0)=0 temos
y(0)=A=1, y'(t) = e^-tl(-Acos t - Asin t -Bsin t + Bcos tr)
em t=0 -A+B=0Rightarrow B=1.
Portanto, para 0<= t<pi,
y(t) = e^-t(cos t + sin t)

Passo 3

No instante t=pi há o impulso de<a(t-pi). Integrando a equação em torno de pi de pi-varepsilon até pi+varepsilon, obtemos a continuidade de y e o salto em y':
y(pi^+) = y(pi^-), y'(pi^+) - y'(pi^-) = 1
Usando a solução anterior:
y(pi^-) = e^-pi(cospi + sinpi) = -e^-pi, y'(pi^-) = -2e^-tsin t|t=pi = 0
Logo
y(pi^+)= -e^-pi, y'(pi^+)=1

Passo 4

Para t>pi definimos tau = t-pi e a solução homogênea
y2(tau) = e^-taul(Ccostau + Dsintaur)
Em tau=0 (i.e.\ t=pi) temos
y2(0)=C = -e^-pi, y2'(0)= -C + D = 1 ;Rightarrow; D = 1 - e^-pi
Portanto, para t>= pi,
y(t) = e^-(t-pi)l(-e^-picos(t-pi) + (1-e^-pi)sin(t-pi)r)

Resposta

(a) A solução completa é
para 0<= t<pi:
y(t) = e^-t(cos t + sin t),
para t>= pi:
y(t) = e^-(t-pi)l(-e^-picos(t-pi) + (1-e^-pi)sin(t-pi)r)
(b) Fisicamente, trata-se de um sistema massa-mola-amortecedor inicialmente em repouso deslocado de 1 com amortecimento crítico subcrítico. No instante t=pi aplica-se um choque rápido (modelo do impulso de<a), que não altera a posição y mas aumenta instantaneamente a velocidade em 1. A expressão para t>pi é o movimento amortecido livre com a nova velocidade inicial.
(c) Já obtida acima: para t>=pi,
y(t) = e^-(t-pi)l(-e^-picos(t-pi) + (1-e^-pi)sin(t-pi)r)

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