Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e determine o intervalo na qual esta solução está definida. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{2 x}{1+2 y} \\\ y(2)=0\end{array}\right.
Encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Determinar o intervalo (máximo) de definição dessa solução que contenha o ponto x=2.
Informações relevantes recebidas:
A equação diferencial relaciona y' (derivada de y em relação a x) com x e y.
A condição inicial é y(2)=0.
Note mental: a expressão do lado direito tem denominador 1+2y, então a equação só faz sentido quando 1+2y\neq0. (Não vamos resolver ainda; só anotar esse dado.)]
Passo 2
Identificação do método e separação de variáveis (explicando a técnica)
A equação dada pode ser tratada por separação de variáveis porque pode ser rearranjada para colocar todas as ocorrências de y com dy de um lado e todas as de x com dx do outro.
A ideia da separação: escrever a equação na forma
g(y)\,dy = h(x)\,dx,
e então integrar ambos os lados. Aqui y'=\dfrac{dy}{dx}.
As duas opções dão 0 (com o sinal +) e -1 (com o sinal -). Como queremos y(2)=0, a escolha correta é o sinal +. Portanto a solução explícita que cumpre a condição inicial é
y(x) = \frac{-1 + \sqrt{4x^2 - 15}}{2}.
Passo 6
Determinar o intervalo de definição máxima que contenha x=2
Observações importantes para o domínio:
A expressão explícita envolve \sqrt{4x^2-15}, então é necessário ter 4x^2-15 \ge 0, isto é
Portanto 1+2y(x)=0 exatamente quando \sqrt{4x^2-15}=0, isto é quando 4x^2-15=0 ou x^2=\tfrac{15}{4}, ou seja x=\pm \tfrac{\sqrt{15}}{2}.
Nos pontos x=\pm \tfrac{\sqrt{15}}{2} a equação original deixa de fazer sentido (divisão por zero), então esses pontos não pertencem ao domínio da solução da eq. diferencial.
Agora determinar o maior intervalo aberto que contenha x=2 e no qual a solução é bem definida e satisfaz a EDO:
Como 2> \tfrac{\sqrt{15}}{2} (porque \tfrac{\sqrt{15}}{2}\approx1,9365), o ponto inicial x=2 está no ramo com x>\tfrac{\sqrt{15}}{2}.
Para todo x>\tfrac{\sqrt{15}}{2} temos 4x^2-15>0 e portanto \sqrt{4x^2-15}>0, implicando 1+2y(x)>0 — ou seja, a solução é regular e satisfaz a EDO em todo o intervalo \big(\tfrac{\sqrt{15}}{2},+\infty\big).
À esquerda, o ponto mais próximo onde a solução deixa de ser válida é x=\tfrac{\sqrt{15}}{2}; não é possível estender a solução até esse ponto mantendo a equação original definida (a derivada explodiria).
Conclusão sobre o intervalo: o maior intervalo aberto que contém x=2 e onde existe a solução que satisfaz a condição inicial é
\left(\frac{\sqrt{15}}{2},\, +\infty\right).
Observação sobre existência e unicidade: a função f(x,y)=\dfrac{2x}{1+2y} é contínua e Lipschitz em y numa vizinhança de (2,0) que não cruza a linha 1+2y=0; por isso a solução encontrada é única naquele intervalo por teorema padrão de existência e unicidade.
Resposta
y(x)=\dfrac{-1+\sqrt{4x^{2}-15}}{2}\n\displaystyle \text{Intervalo de definição: }\left(\dfrac{\sqrt{15}}{2},+\infty\right)çã