Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e determine o intervalo na qual esta solução está definida.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{2 x}{1+2 y} \\\ y(2)=0\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dado o problema de valor inicial
\begin{cases} y'=\dfrac{2x}{1+2y},\\[4pt] y(2)=0. \end{cases}
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
    2. Determinar o intervalo (máximo) de definição dessa solução que contenha o ponto x=2.
Informações relevantes recebidas:
  • A equação diferencial relaciona y' (derivada de y em relação a x) com x e y.
  • A condição inicial é y(2)=0.
  • Note mental: a expressão do lado direito tem denominador 1+2y, então a equação só faz sentido quando 1+2y\neq0. (Não vamos resolver ainda; só anotar esse dado.)]

Passo 2

Identificação do método e separação de variáveis (explicando a técnica)
  • A equação dada pode ser tratada por separação de variáveis porque pode ser rearranjada para colocar todas as ocorrências de y com dy de um lado e todas as de x com dx do outro.
  • A ideia da separação: escrever a equação na forma
g(y)\,dy = h(x)\,dx,
e então integrar ambos os lados. Aqui y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Aplicando isso à nossa equação:
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{1+2y} \quad\Longrightarrow\quad (1+2y)\,dy = 2x\,dx.
Esta é a separação de variáveis: tudo em y do lado esquerdo e tudo em x do lado direito.

Passo 3

Integração de ambos os lados e obtenção da solução implícita
  • Agora integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
\int (1+2y)\,dy = \int 2x\,dx.
  • Calcule cada integral separadamente:
    • \displaystyle \int (1+2y)\,dy = \int 1\,dy + \int 2y\,dy = y + y^2. (Porque \int 1\,dy = y e \int 2y\,dy = 2\cdot \frac{y^2}{2}=y^2.)
    • \displaystyle \int 2x\,dx = x^2. (Porque \int 2x\,dx = 2\cdot \frac{x^2}{2}=x^2.)
  • Portanto obtemos a relação implícita (adição de constante de integração C):
y + y^2 = x^2 + C.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração
  • Usar y(2)=0. Substituindo x=2 e y=0 em \,y+y^2=x^2+C:
0 + 0 = 2^2 + C \quad\Longrightarrow\quad 0 = 4 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -4.
  • Assim a solução implícita com a constante fica
y + y^2 = x^2 - 4.

Passo 5

Resolver explicitamente para y (fórmula quadrática) e escolher o ramo que satisfaz a condição inicial
  • A equação é quadrática em y. Reescrevendo:
y^2 + y - (x^2 - 4)=0.
  • Aplicar a fórmula de Bhaskara para y:
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(x^2 - 4)}}{2}.
  • Simplificar o discriminante:
1 + 4(x^2 - 4) = 4x^2 - 15.
  • Logo
y(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{4x^2 - 15}}{2}.
  • Agora escolhemos o sinal + ou - de acordo com a condição inicial y(2)=0. Avaliando em x=2:
y(2) = \frac{-1 \pm \sqrt{4\cdot 2^2 - 15}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{16-15}}{2} = \frac{-1 \pm 1}{2}.
As duas opções dão 0 (com o sinal +) e -1 (com o sinal -). Como queremos y(2)=0, a escolha correta é o sinal +. Portanto a solução explícita que cumpre a condição inicial é
y(x) = \frac{-1 + \sqrt{4x^2 - 15}}{2}.

Passo 6

Determinar o intervalo de definição máxima que contenha x=2
  • Observações importantes para o domínio:
    1. A expressão explícita envolve \sqrt{4x^2-15}, então é necessário ter 4x^2-15 \ge 0, isto é
    x^2 \ge \frac{15}{4} \quad\Longrightarrow\quad |x| \ge \frac{\sqrt{15}}{2}.
    1. Além disso, a equação diferencial original tem o denominador 1+2y, que não pode ser zero. Verificamos quando isso ocorre com a nossa solução:
    • Calcule 1+2y(x) usando a solução escolhida:
    1+2y(x) = 1 + 2\cdot\frac{-1 + \sqrt{4x^2-15}}{2} = 1 -1 + \sqrt{4x^2-15} = \sqrt{4x^2-15}.
    • Portanto 1+2y(x)=0 exatamente quando \sqrt{4x^2-15}=0, isto é quando 4x^2-15=0 ou x^2=\tfrac{15}{4}, ou seja x=\pm \tfrac{\sqrt{15}}{2}.
    1. Nos pontos x=\pm \tfrac{\sqrt{15}}{2} a equação original deixa de fazer sentido (divisão por zero), então esses pontos não pertencem ao domínio da solução da eq. diferencial.
  • Agora determinar o maior intervalo aberto que contenha x=2 e no qual a solução é bem definida e satisfaz a EDO:
    • Como 2> \tfrac{\sqrt{15}}{2} (porque \tfrac{\sqrt{15}}{2}\approx1,9365), o ponto inicial x=2 está no ramo com x>\tfrac{\sqrt{15}}{2}.
    • Para todo x>\tfrac{\sqrt{15}}{2} temos 4x^2-15>0 e portanto \sqrt{4x^2-15}>0, implicando 1+2y(x)>0 — ou seja, a solução é regular e satisfaz a EDO em todo o intervalo \big(\tfrac{\sqrt{15}}{2},+\infty\big).
    • À esquerda, o ponto mais próximo onde a solução deixa de ser válida é x=\tfrac{\sqrt{15}}{2}; não é possível estender a solução até esse ponto mantendo a equação original definida (a derivada explodiria).
  • Conclusão sobre o intervalo: o maior intervalo aberto que contém x=2 e onde existe a solução que satisfaz a condição inicial é
\left(\frac{\sqrt{15}}{2},\, +\infty\right).
  • Observação sobre existência e unicidade: a função f(x,y)=\dfrac{2x}{1+2y} é contínua e Lipschitz em y numa vizinhança de (2,0) que não cruza a linha 1+2y=0; por isso a solução encontrada é única naquele intervalo por teorema padrão de existência e unicidade.

Resposta

y(x)=\dfrac{-1+\sqrt{4x^{2}-15}}{2}\n \displaystyle \text{Intervalo de definição: }\left(\dfrac{\sqrt{15}}{2},+\infty\right)çã

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