Determine as seguintes integrais indefinidas:
integral sin ^5 x cos x d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de sin^5 x cos x , dx. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição. Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão sin^5 x cos x pode ser reescrita como sin^4 x cdot sin x cdot cos x. Isso ajuda a separar os termos de seno e cosseno.

Passo 3

Sabemos que sin^2 x = 1 - cos^2 x. Então, podemos reescrever sin^4 x usando essa identidade:
sin^4 x = (sin^2 x)^2 = (1 - cos^2 x)^2
No entanto, uma abordagem mais simples aqui é fazer uma substituição direta.

Passo 4

Vamos fazer a substituição u = sin x. Assim, a derivada de u em relação a x é:
dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx
Isso simplifica a integral, pois temos cos x , dx na expressão original.

Passo 5

Substituindo u = sin x e du = cos x , dx na integral original, ficamos com:
integral sin^5 x cos x , dx = integral u^5 , du

Passo 6

Agora, basta integrar u^5 em relação a u:
integral u^5 , du = u^66 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta por sin x para obter a resposta em termos de x:
u^66 + C = sin^6 x6 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin^5 x cos x , dx = sin^6 x6 + C

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