Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado fornece um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial indicada.
Informações relevantes dadas:
- A derivada
é dada em termos de e . - O valor de
em é . - Para aplicar manipulações algébricas e separação de variáveis, devemos garantir que não dividimos por zero em pontos usados (por exemplo
quando fizermos divisões por ); aqui a condição inicial tem , então próximo de é válido.
Passo 2
Vamos transformar a equação para uma forma em que seja possível separar variáveis. Observação prática (explicada em linguagem mais didática): o lado direito é uma razão de expressões lineares em
e
. Nesses casos é eficiente tentar a substituição
isto é, escrever
como uma função
vezes
. Isso facilita porque a razão costuma depender só de
.
Ao fazer essa substituição, precisamos da expressão de
em termos de
e
. Usando a regra do produto:
Agora substituímos
e
na equação original. No membro direito:
Portanto a equação diferencial vira
Passo 3
Isolamos
para poder separar variáveis:
Vamos colocar no mesmo denominador:
Desenvolvendo o numerador:
Logo
Passo 4
Agora separamos variáveis: colocamos os termos em
no lado esquerdo e os termos em
no lado direito:
Comentário didático: separar variáveis significa escrever a equação na forma
e então integrar ambos os lados. É válido aqui porque estamos assumindo
(o que é certo na vizinhança de
).
Passo 5
Integramos ambos os lados. Vamos calcular cuidadosamente a integral do lado esquerdo:
Perceba que a derivada do denominador
em relação a
é
O numerador é
, isto é, é o negativo da derivada do denominador. Isso é uma pista clássica: quando o numerador é (constante vezes) a derivada do denominador, a integral é um logaritmo simples. Assim
No lado direito:
Igualando as integrais e juntando constantes (tomando
) obtemos
ou reorganizando
Exponentiando e lembrando que
, resulta
Simplificando,
que é a solução implícita geral da equação diferencial (onde
é constante arbitrária).
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão implícita:
Portanto
. A solução implícita que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Se quisermos a solução explícita
, resolvemos a equação quadrática em
:
Usando a fórmula quadrática:
Para escolher o sinal correto usamos a condição inicial
. Avaliando em
:
as duas raízes são
e
. A condição inicial exige a raiz
, correspondendo ao sinal
. Assim a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
Domínio de validade (para solução real): requer
, ou seja
A solução é válida numa vizinhança de
contida nesse intervalo.