Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x-y}{x-2 y} \\ y(1)=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x-y}{x-2 y}, \qquad y(1)=3.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial indicada.
Informações relevantes dadas:
  • A derivada \dfrac{dy}{dx} é dada em termos de x e y.
  • O valor de y em x=1 é 3.
  • Para aplicar manipulações algébricas e separação de variáveis, devemos garantir que não dividimos por zero em pontos usados (por exemplo x\neq0 quando fizermos divisões por x); aqui a condição inicial tem x=1, então x próximo de 1 é válido.

Passo 2

Vamos transformar a equação para uma forma em que seja possível separar variáveis. Observação prática (explicada em linguagem mais didática): o lado direito é uma razão de expressões lineares em x e y. Nesses casos é eficiente tentar a substituição
y = v x,
isto é, escrever y como uma função v vezes x. Isso facilita porque a razão costuma depender só de v=\dfrac{y}{x}.
Ao fazer essa substituição, precisamos da expressão de \dfrac{dy}{dx} em termos de v e x. Usando a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(v x)=v + x\frac{dv}{dx}.
Agora substituímos y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} na equação original. No membro direito:
\frac{2x-y}{x-2y} =\frac{2x - v x}{x - 2 v x} =\frac{2 - v}{1 - 2v}.
Portanto a equação diferencial vira
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{2 - v}{1 - 2v}.

Passo 3

Isolamos x\dfrac{dv}{dx} para poder separar variáveis:
x\frac{dv}{dx} =\frac{2 - v}{1 - 2v}-v.
Vamos colocar no mesmo denominador:
\frac{2 - v}{1 - 2v}-v =\frac{2 - v - v(1 - 2v)}{1 - 2v}.
Desenvolvendo o numerador:
2 - v - v(1 - 2v)=2 - v - v + 2v^2=2(1 - v + v^2).
Logo
x\frac{dv}{dx}=\frac{2(1 - v + v^2)}{1 - 2v}.

Passo 4

Agora separamos variáveis: colocamos os termos em v no lado esquerdo e os termos em x no lado direito:
\frac{1 - 2v}{1 - v + v^2}\,dv = \frac{2}{x}\,dx.
Comentário didático: separar variáveis significa escrever a equação na forma G(v)\,dv = H(x)\,dx e então integrar ambos os lados. É válido aqui porque estamos assumindo x\neq0 (o que é certo na vizinhança de x=1).

Passo 5

Integramos ambos os lados. Vamos calcular cuidadosamente a integral do lado esquerdo:
\int \frac{1 - 2v}{1 - v + v^2}\,dv.
Perceba que a derivada do denominador 1 - v + v^2 em relação a v é
\frac{d}{dv}(1 - v + v^2) = -1 + 2v = 2v - 1.
O numerador é 1 - 2v = -(2v - 1), isto é, é o negativo da derivada do denominador. Isso é uma pista clássica: quando o numerador é (constante vezes) a derivada do denominador, a integral é um logaritmo simples. Assim
\int \frac{1 - 2v}{1 - v + v^2}\,dv = -\int \frac{2v - 1}{1 - v + v^2}\,dv = -\ln\bigl(1 - v + v^2\bigr) + C_1.
No lado direito:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| + C_2.
Igualando as integrais e juntando constantes (tomando C=C_2-C_1) obtemos
-\ln\bigl(1 - v + v^2\bigr)=2\ln|x| + C,
ou reorganizando
\ln\bigl(1 - v + v^2\bigr)+2\ln|x| = \tilde C.
Exponentiando e lembrando que v=\dfrac{y}{x}, resulta
x^2\bigl(1 - v + v^2\bigr)=C', \qquad\text{ou seja}\qquad x^2\Bigl(1 - \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}\Bigr)=C'.
Simplificando,
x^2 - x y + y^2 = C,
que é a solução implícita geral da equação diferencial (onde C é constante arbitrária).

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=3 para determinar C. Substituindo x=1 e y=3 na expressão implícita:
1^2 - 1\cdot 3 + 3^2 = 1 - 3 + 9 = 7.
Portanto C=7. A solução implícita que satisfaz a condição inicial é
x^2 - x y + y^2 = 7.

Passo 7

Se quisermos a solução explícita y=y(x), resolvemos a equação quadrática em y:
y^2 - x y + (x^2 - 7)=0.
Usando a fórmula quadrática:
y=\frac{x \pm \sqrt{x^2 - 4(x^2 - 7)}}{2} =\frac{x \pm \sqrt{28 - 3x^2}}{2}.
Para escolher o sinal correto usamos a condição inicial y(1)=3. Avaliando em x=1:
y(1)=\frac{1 \pm \sqrt{28 - 3}}{2}=\frac{1 \pm 5}{2},
as duas raízes são 3 e -2. A condição inicial exige a raiz 3, correspondendo ao sinal +. Assim a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{x + \sqrt{28 - 3x^2}}{2}.
Domínio de validade (para solução real): requer \,28 - 3x^2 \ge 0, ou seja
|x|\le \sqrt{\tfrac{28}{3}}.
A solução é válida numa vizinhança de x=1 contida nesse intervalo.

Resposta

x^{2}-xy+y^{2}=7
y(x)=\dfrac{x+\sqrt{28-3x^{2}}}{2},\quad |x|\le\sqrt{\tfrac{28}{3}}

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