Considere a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{8}{y} .
Identifique o tipo de cônica descrita pelas soluções da equação acima.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\frac{8}{y}.
O que está sendo pedido é: identificar o tipo de cônica descrita pelas curvas solução dessa equação.
Informações relevantes dadas:
  • A equação relaciona a derivada de y em função de x com y pelo lado direito \dfrac{8}{y}.
  • Não há valores numéricos adicionais nem condições iniciais; portanto a família geral de soluções deve ser obtida com uma constante arbitrária.

Passo 2

Isolando variáveis para integrar (a ideia é tratar os y com dy e os x com dx), multiplica-se ambos os lados por y\,dx (isso é permitido desde que y\neq0 nos pontos onde a equação é válida):
y\,dy = 8\,dx.
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar a regra usada: a integral de y em relação a y é \int y\,dy = \dfrac{y^2}{2} porque a regra geral é \int t^n dt = \dfrac{t^{n+1}}{n+1} (aqui n=1). A integral de uma constante 8 em relação a x é \int 8\,dx = 8x + C, onde C é constante de integração. Então:
\int y\,dy = \int 8\,dx \quad\Rightarrow\quad \frac{y^2}{2} = 8x + C.

Passo 3

Multiplicando por 2 para simplificar, obtemos
y^2 = 16x + C',
onde C' = 2C é outra constante arbitrária. Essa é a forma implícita da família de curvas solução. Explicitando y,
y = \pm\sqrt{16x + C'}.
Observação sobre domínio: para soluções reais, é necessário 16x + C' \ge 0, então cada membro da família vive num intervalo de x apropriado, com vértice onde 16x + C'=0.

Passo 4

Para reconhecer que tipo de cônica é essa família, reescreve-se a equação em forma padrão de cônicas. Podemos escrever
y^2 - 16x - C' = 0.
Uma maneira clássica de classificar cônicas é usar a forma geral de segunda grau
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
e calcular o discriminante \Delta = B^2 - 4AC. As regras de classificação (resumidas) são:
  • \Delta > 0 \Rightarrow hipérbole;
  • \Delta = 0 \Rightarrow parábola;
  • \Delta < 0 \Rightarrow elipse (inclui círculo).
No nosso caso a equação é -16x + y^2 - C' = 0. Identificando coeficientes:
A = 0 \quad(\text{coeficiente de }x^2),\qquad B = 0 \quad(\text{coeficiente de }xy),\qquad C = 1 \quad(\text{coeficiente de }y^2).
Logo
\Delta = B^2 - 4AC = 0^2 - 4\cdot 0\cdot 1 = 0.
Pelo critério acima, \Delta=0 indica que a curva é uma parábola.

Passo 5

Outra visão prática: a equação pode ser organizada como
y^2 = 16\bigl(x + \tfrac{C'}{16}\bigr).
Compare isso com a forma canônica da parábola com eixo horizontal
y^2 = 4p(x - x_0),
onde p é a distância do vértice ao foco e x_0 é a abscissa do vértice. Aqui 4p=16 p=4, e o vértice está em x_0 = -\dfrac{C'}{16}. Assim cada constante C' desloca horizontalmente uma parábola que abre para a direita (já que 4p>0). Isso confirma, de forma construtiva, que as soluções são parábolas.

Passo 6

Resumo didático e intuitivo: integrar a ODE levou a y^2=16x+C', que é exatamente a equação padrão de uma família de parábolas com eixo paralelo ao eixo x. O discriminante da forma quadrática confirma a classificação, e a reescrita mostra vértice e parâmetro p.

Resposta

Parábola.

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