Considere a equação diferencial
Identifique o tipo de cônica descrita pelas soluções da equação acima.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
O que está sendo pedido é: identificar o tipo de cônica descrita pelas curvas solução dessa equação.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A equação relaciona a derivada de
em função de com pelo lado direito . - Não há valores numéricos adicionais nem condições iniciais; portanto a família geral de soluções deve ser obtida com uma constante arbitrária.
Passo 2
Isolando variáveis para integrar (a ideia é tratar os
com
e os
com
), multiplica-se ambos os lados por
(isso é permitido desde que
nos pontos onde a equação é válida):
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar a regra usada: a integral de
em relação a
é
porque a regra geral é
(aqui
). A integral de uma constante
em relação a
é
, onde
é constante de integração. Então:
Passo 3
Multiplicando por
para simplificar, obtemos
onde
é outra constante arbitrária. Essa é a forma implícita da família de curvas solução. Explicitando
,
Observação sobre domínio: para soluções reais, é necessário
, então cada membro da família vive num intervalo de
apropriado, com vértice onde
.
Passo 4
Para reconhecer que tipo de cônica é essa família, reescreve-se a equação em forma padrão de cônicas. Podemos escrever
Uma maneira clássica de classificar cônicas é usar a forma geral de segunda grau
e calcular o discriminante
. As regras de classificação (resumidas) são:
-
hipérbole; -
parábola; -
elipse (inclui círculo).
No nosso caso a equação é
. Identificando coeficientes:
Logo
Pelo critério acima,
indica que a curva é uma parábola.
Passo 5
Outra visão prática: a equação pode ser organizada como
Compare isso com a forma canônica da parábola com eixo horizontal
onde
é a distância do vértice ao foco e
é a abscissa do vértice. Aqui
dá
, e o vértice está em
. Assim cada constante
desloca horizontalmente uma parábola que abre para a direita (já que
). Isso confirma, de forma construtiva, que as soluções são parábolas.
Passo 6
Resumo didático e intuitivo: integrar a ODE levou a
, que é exatamente a equação padrão de uma família de parábolas com eixo paralelo ao eixo
. O discriminante da forma quadrática confirma a classificação, e a reescrita mostra vértice e parâmetro
.
Resposta
Parábola.