Considere a equação diferencial
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0
Mostre que a solução implícita da equação exata será dada por
\int M(x, y) d x=C

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
e pede para mostrar que a solução implícita da equação exata será dada por uma integração em x. As informações e hipóteses que vamos usar (que aparecem tacitamente em todo enunciado sobre equações exatas) são:
  • M(x,y) e N(x,y) têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo do plano (isso garante que as integrais e trocas de derivada que usaremos façam sentido).
  • A equação é exata, o que significa que
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)
para todos (x,y) do domínio.
  • O objetivo final é obter uma expressão implícita da solução do tipo “uma função de x e y igual a constante”, obtida a partir da integração de M em relação a x.

Passo 2

Explicando o que significa “exata” e a ideia da solução (passo-a-passo, sem pular):
  • Uma diferente forma diferencial M\,dx+N\,dy é chamada exata se existe uma função \Psi(x,y) (chamada função potencial) tal que
d\Psi=\Psi_x\,dx+\Psi_y\,dy=M\,dx+N\,dy.
  • Em palavras: isso quer dizer que \Psi_x=M e \Psi_y=N. Se acharmos \Psi, então a equação diferencial M\,dx+N\,dy=0 fica
d\Psi=0,
logo \Psi(x,y)=C é a solução implícita (porque diferencial zero significa que \Psi é constante ao longo das curvas solução).
  • Então a tarefa prática é construir tal \Psi. A maneira mais direta é integrar M em relação a x (tratando y como constante) e ajustar uma função de y que apareça como “constante de integração”.

Passo 3

Construção de \Psi integrando M em x (com explicação do porquê):
  • Defina uma primitiva em x com y fixo; use uma variável auxiliar t para não confundir:
\Psi(x,y)=\int_{x_0}^{x} M(t,y)\,dt + g(y),
onde x_0 é um ponto fixo no domínio (pode ser arbitrário) e g(y) é uma função de y que ainda não sabemos — ela aparece porque ao integrar em x a “constante” de integração pode depender de y.
  • Por que isso é razoável? Porque, pela definição de derivada parcial (Teorema Fundamental do Cálculo para integrais dependentes de parâmetro),
\frac{\partial}{\partial x}\left(\int_{x_0}^{x} M(t,y)\,dt\right)=M(x,y),
ou seja, ao derivar \Psi em relação a x obtemos
\Psi_x(x,y)=M(x,y)+\underbrace{g'(y)\cdot 0}_{=0}=M(x,y).
Portanto a escolha acima garante \Psi_x=M, como queremos.

Passo 4

Determinar g(y) impondo \Psi_y=N (a condição de exatidão é usada aqui):
  • Calcule a derivada parcial de \Psi em relação a y. A integral depende de y como parâmetro, então aplicamos a derivação sob o sinal de integral:
\Psi_y(x,y)=\int_{x_0}^{x} \frac{\partial}{\partial y}M(t,y)\,dt + g'(y).
  • Usando a hipótese de exatidão \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}, substituímos:
\Psi_y(x,y)=\int_{x_0}^{x} \frac{\partial N}{\partial x}(t,y)\,dt + g'(y).
  • Agora aplique o Teorema Fundamental do Cálculo à integral do lado direito (integral de \partial N/\partial x em t de x_0 até x N(x,y)-N(x_0,y)):
\Psi_y(x,y)=N(x,y)-N(x_0,y)+g'(y).
  • Mas queremos \Psi_y(x,y)=N(x,y). Igualando:
N(x,y)=N(x,y)-N(x_0,y)+g'(y).
Isto implica imediatamente
g'(y)=N(x_0,y).
  • Portanto g(y) é uma primitiva (em y) da função y\mapsto N(x_0,y). Assim existe g(y) que satisfaz essa relação (lembrando que x_0 é fixo). Em particular, podemos escolher x_0 de modo conveniente se quisermos simplificar g, mas em todo caso g existe e é determinada até uma constante.

Passo 5

Concluir a forma da solução implícita:
  • Juntando tudo, construímos uma função \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N:
\Psi(x,y)=\int_{x_0}^{x} M(t,y)\,dt + g(y),
onde g'(y)=N(x_0,y).
  • A equação diferencial M\,dx+N\,dy=0 é equivalente a d\Psi=0, logo as soluções implícitas são dadas por
\Psi(x,y)=C,
ou seja
\int_{x_0}^{x} M(t,y)\,dt + g(y)=C.
  • Escrevendo a primitiva em x sem especificar o limite inferior e lembrando que a “constante de integração” ao integrar em x pode ser uma função de y, é costume e abreviação escrever:
\int M(x,y)\,dx + h(y)=C,
onde h(y) é justamente a função g(y) determinada acima. Essa é a forma prática da solução implícita obtida integrando M em x.

Passo 6

Comentário final e interpretação intuitiva (para você usar na prova):
  • Resumindo: ao enfrentar uma equação exata, integra-se M em x tratando y como constante; isso produz uma expressão que difere da função potencial \Psi por uma função de y. Em seguida deriva-se essa expressão em y e iguala a N para encontrar essa função de y. No final obtém-se \Psi(x,y)=C.
  • Às vezes textos escrevem sucintamente \int M\,dx=C entendendo implicitamente que a constante de integração pode depender de y. Por isso a escrita correta e completa é
\int M(x,y)\,dx + h(y)=C,
que é equivalente a \Psi(x,y)=C.

Resposta

\displaystyle \int M(x,y)\,dx + h(y)=C

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