Encontre uma solução para o seguinte problema de valor inicial utilizando o método indicado:
Substituição:
y d x+x(ln x-ln y-1) d y=0, y(1)=e

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem y,dx + x(ln x - ln y - 1),dy = 0 com condição inicial y(1)=e. Como os termos aparecem em função de ln x - ln y = ln(x/y), acabamos reconhecendo que é conveniente usar a substituição u=dfrac yx para tornar a equação separável.

Passo 2

Definimos u=dfrac yx, então y = xu e dy = u,dx + x,du. Substituindo em y,dx + x(ln x - ln y - 1),dy = 0 obtemos após simplificar
-uln u,dx - x(ln u + 1),du = 0

Passo 3

Dividindo por x ficamos com
-uln u,dxx - (ln u + 1),du = 0Longrightarrow dxx = -ln u + 1uln u,du

Passo 4

Para facilitar a integral, fazemos t=ln u, logo u=e^t, du=e^t dt e ln u = t. Substituindo,
dxx = -t+1t,dt

Passo 5

Integramos dos dois lados:
integral dxx = ln x, integral t+1t,dt = t + ln|t|

Passo 6

Logo
ln x = -l(t + ln|t|r) + C

Passo 7

Voltando a t = ln u = ln(y/x), temos
ln x = -lnl[(y/x)ln(y/x)r] + C,

Passo 8

que leva a
ylnyx = e^C

Passo 9

Usando a condição inicial x=1, y=e eln(e/1)=e=e^C, logo e^C=e.

Resposta

ylnyx=e

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