Seja
uma função diferenciável, tal que
. Mostre que, se
e
for convergente, então
é convergente.
Passo 1
O enunciado define uma sequência positiva
e diz que
converge. Queremos mostrar que
também converge. Vamos usar uma desigualdade obtida pelo Teorema do Valor Médio para funções diferenciáveis.
Passo 2
Considere a função auxiliar
, que é diferenciável para
. Aplicando o Teorema do Valor Médio no intervalo de
a
, existe
tal que
Passo 3
Como
e
, temos
pois
Como
Resposta
A série
converge por comparação com
, usando a desigualdade
.