Seja f uma função diferenciável, tal que f(n)=an. Mostre que, se an>0 e sumn=1^+infty an for convergente, então sumn=1^+infty ln (1+an) é convergente.

Passo 1

O enunciado define uma sequência positiva an = f(n) e diz que sumn=1^infty an converge. Queremos mostrar que sumn=1^infty ln(1+an) também converge. Vamos usar uma desigualdade obtida pelo Teorema do Valor Médio para funções diferenciáveis.

Passo 2

Considere a função auxiliar g(x)=ln(1+x), que é diferenciável para x>-1. Aplicando o Teorema do Valor Médio no intervalo de 0 a an, existe xinin(0,an) tal que
g(an)-g(0)=g'(xin),an

Passo 3

Como g(0)=0 e g'(x)=1/(1+x), temos
ln(1+an)=11+xin,an<= an,
pois 1+xin>1.
Como ln(1+an)<= an para todo n e sum an converge, pelo critério da comparação a série sum ln(1+an) também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty ln(1+an) converge por comparação com sumn=1^infty an, usando a desigualdade ln(1+an)<= an.

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