Encontre a solução do seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}(t)+2 t y(t) \equiv 2 t \\\ y(0)=13 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y'(t) + 2\,t\,y(t) = 2\,t, \quad y(0)=13.
Este é um PVI de primeira ordem e linear, onde vamos identificar p(t)=2t e q(t)=2t, construir o fator integrante e resolver a equação.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int 2t\,dt\Bigr) = e^{t^2}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t) para obter uma derivada exata:
e^{t^2}y'(t) + 2t\,e^{t^2}y(t) = 2t\,e^{t^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y(t)e^{t^2}\bigr) = 2t\,e^{t^2}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
y(t)e^{t^2} = \int 2t\,e^{t^2}\,dt + C = e^{t^2} + C.
Isolando y(t), vem
y(t) = 1 + C\,e^{-t^2}.

Passo 5

Aplicamos a condição y(0)=13:
y(0) = 1 + C\,e^{0} = 1 + C = 13 \quad\Longrightarrow\quad C = 12.
Portanto a solução do PVI é
y(t) = 1 + 12\,e^{-t^2}.

Resposta

y(t) = 1 + 12\,e^{-t^2}.

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