Encontre a solução do PVI usando o método do fator integrante:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}(t)+2 y(t) \equiv 10 \\\ y(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + 2\,y(t) = 10, \qquad y(0)=1.
O conteúdo é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que envolve encontrar uma função \mu(t) tal que a equação se torne exata.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'(t) + 2\,y(t) = 10.
O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t) = \exp\Bigl(\int 2\,dt\Bigr) = e^{2t}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por \mu(t)=e^{2t}:
e^{2t}\,y'(t) + 2\,e^{2t}\,y(t) = 10\,e^{2t}.
O lado esquerdo é a derivada de y(t)\,e^{2t}, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(y(t)\,e^{2t}\bigr) = 10\,e^{2t}.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
y(t)\,e^{2t} = \int 10\,e^{2t}\,dt = 5\,e^{2t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y(t):
y(t) = 5 + C\,e^{-2t}.
Usamos a condição inicial y(0)=1:
1 = 5 + C\,e^{0} \quad\Longrightarrow\quad C = 1 - 5 = -4.

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = 5 - 4\,e^{-2t}.

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