Encontre a solução do seguinte PVI por qualquer método:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}(t)=e^{-y(t)} \\\ y(0)=\ln 9 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial \displaystyle \frac{dy}{dt}=e^{-y},\quad y(0)=\ln 9.
Isso é uma EDO de primeira ordem separável; vamos usar a técnica de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Escrevendo \frac{dy}{dt}=e^{-y} de forma separável, multiplicamos ambos os lados por e^{y} e dt:
e^{y}\,\frac{dy}{dt}=1 \quad\Longrightarrow\quad e^{y}\,dy = dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int e^{y}\,dy = \int 1\,dt
o que resulta em
e^{y} = t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=\ln 9. Em t=0 temos
e^{y(0)} = e^{\ln 9} = 9,
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9 = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 9.

Passo 5

Substituindo C=9 em e^{y}=t+C obtemos
e^{y} = t + 9 \quad\Longrightarrow\quad y(t) = \ln\bigl(t + 9\bigr),
válida enquanto t+9>0, isto é, para t>-9.

Resposta

y(t) = \ln\bigl(t + 9\bigr).

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