Encontre a solução dos seguintes P.V.I.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d r}{d \theta}=r \\\ r(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} \frac{d r}{d \theta}=r,\\\ r(0)=2, \end{cases}
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável.

Passo 2

Como é uma EDO separável, escrevemos
\frac{1}{r}\,\frac{dr}{d\theta}=1
e fazemos a separação de variáveis:
\frac{dr}{r}=d\theta.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int\frac{dr}{r}=\int d\theta \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|r\bigr|=\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial r(0)=2:
\ln\bigl|2\bigr|=0 + C \quad\Longrightarrow\quad C=\ln(2).
Substituindo em \ln|r|=\theta + C e exponenciando, obtemos
\ln|r|=\theta + \ln(2) \quad\Longrightarrow\quad |r|=2e^{\theta}.
Como r(0)=2>0, temos r(\theta)=2e^{\theta}.

Resposta

r(\theta)=2e^{\theta}.

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