Resolva os seguintes PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x+y \\\ y(0)=2\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y' = x + y, \quad y(0)=2.
O conteúdo é EDO de primeira ordem linear; vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão
y' - y = x,
identificamos P(x) = -1 e Q(x)=x. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-\!x\bigr) = e^{-x}.

Passo 3

Multiplicando a equação por \mu(x), obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = x\,e^{-x},
que é equivalente a
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = x\,e^{-x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y = \int x\,e^{-x}dx + C.
Fazendo integração por partes em \int x\,e^{-x}dx:
\int x\,e^{-x}dx = -(x+1)e^{-x} + C_1.
Logo,
e^{-x}y = -(x+1)e^{-x} + C.

Passo 5

Isolando y, vem
y(x) = -(x+1) + C\,e^{x}.

Passo 6

Impondo a condição y(0)=2:
2 = y(0) = -(0+1) + C\,e^{0} = -1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 3.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = 3\,e^{x} - x - 1.

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