Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore gráficos das mesmas:
y^prime ^prime+y^prime-2 y=2 t ; y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O problema pede a solução do problema de valor inicial
y'' + y' - 2y = 2t,
com as condições y(0)=0 e y'(0)=1. Aqui usamos o método de equações lineares de coeficientes constantes: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma solução particular por coeficientes a determinar e, por fim, aplicamos as condições iniciais para fixar as constantes.

Passo 2

Para a parte homogênea
y'' + y' - 2y = 0
montamos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0,
cuja raízes são r=1 e r=-2. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 3

Para uma solução particular yp da equação não-homogênea, suponho um polinômio de grau 1:
yp(t) = A,t + B
Então
yp' = A, yp'' = 0,
e substituindo em
yp'' + yp' - 2yp = 2t
vem
0 + A - 2(A,t + B) = 2t ;Longrightarrow; -2A,t + (A - 2B) = 2t
Igualando coeficientes de t e constantes:
-2A = 2, A - 2B = 0
resulta em A=-1 e B=-tfrac12. Assim
yp(t) = -,t - tfrac12

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C1 e^t + C2 e^-2t - t - tfrac12
Impondo y(0)=0 e y'(0)=1:
1. De y(0)=0:
C1 + C2 - tfrac12 = 0 ;Longrightarrow; C1 + C2 = tfrac12
2. Como
y'(t) = C1 e^t - 2C2 e^-2t - 1,
temos y'(0)=1:
C1 - 2C2 - 1 = 1 ;Longrightarrow; C1 - 2C2 = 2
Resolvendo
,C1 + C2 = tfrac12,;C1 - 2C2 = 2, dá
C1 = 1, C2 = -tfrac12

Passo 5

Substituindo em y(t), a solução do problema de valor inicial é
y(t) = e^t ;-; tfrac12,e^-2t ;-; t ;-; tfrac12

Passo 6

Características do gráfico de y(t):
  • Em t=0, y(0)=0 e y'(0)=1, partindo da origem com inclinação positiva.

;y'(t)=e^t + e^-2t-1>0 para todo t, então y é estritamente crescente.

;y''(t)=e^t -2e^-2t muda de sinal em t=tfrac13ln2, indicando ponto de inflexão em torno de 0,23.

Para tto+infty, y(t)sim e^t cresce exponencialmente; para tto-infty, y(t)sim -tfrac12e^-2t decai para -infty.
Um esboço qualitativo:
c y uparrow bul<=t;l(0,0r);nearrow;curvearrowright;crescimento exp diagdown!!!diagup inf<=xão em tapprox0,23 long<=ftarrow;tlongrightarrow ã

Resposta

y(t) = e^t - tfrac12,e^-2t - t - tfrac12,
com gráfico qualitativamente crescente, inflexão em t=tfrac13ln2 e crescimento exponencial para tto+infty.

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