Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore gráficos das mesmas:
Passo 1
O problema pede a solução do problema de valor inicial
com as condições e . Aqui usamos o método de equações lineares de coeficientes constantes: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma solução particular por coeficientes a determinar e, por fim, aplicamos as condições iniciais para fixar as constantes.
Passo 2
Para a parte homogênea
montamos a equação característica
cuja raízes são e . Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para uma solução particular da equação não-homogênea, suponho um polinômio de grau :
Então
e substituindo em
vem
Igualando coeficientes de e constantes:
resulta em e . Assim
Passo 4
A solução geral é
Impondo e :
. De :
. Como
temos :
Resolvendo , dá
Passo 5
Substituindo em , a solução do problema de valor inicial é
Passo 6
Características do gráfico de :
Em , e , partindo da origem com inclinação positiva.
para todo , então é estritamente crescente.
muda de sinal em , indicando ponto de inflexão em torno de .
Para , cresce exponencialmente; para , decai para .
Um esboço qualitativo:
Resposta
y(t) = e^t - tfrac12,e^-2t - t - tfrac12,
com gráfico qualitativamente crescente, inflexão em t=tfrac13ln2 e crescimento exponencial para tto+infty.