Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e o maior intervalo no qual a solução é válida.
y^{\prime}(x)+2 y(x)=x e^{-3 x}, y(0)=0.

Passo 1

O problema é um valor inicial para a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(x) + 2\,y(x) = x e^{-3x},\quad y(0)=0.
O conteúdo necessário é a técnica do fator integrante para equações lineares y'+p(x)y=q(x).

Passo 2

Identificamos p(x)=2 e q(x)=x e^{-3x}. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = x e^{-3x} e^{2x}
ou seja
\bigl(e^{2x}y\bigr)' = x e^{-x}.

Passo 4

Integramos em x:
e^{2x}y = \int x e^{-x}\,dx.
Fazendo integração por partes com u=x, dv=e^{-x}dx
\int x e^{-x}dx = -x e^{-x} - \int(-e^{-x})dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.
Logo
e^{2x}y = -(x+1)e^{-x} + C.

Passo 5

Isolando y:
y(x) = -(x+1)e^{-x}e^{-2x} + C e^{-2x} = -(x+1)e^{-3x} + C e^{-2x}.
Usando a condição y(0)=0:
0 = -(0+1)e^{0} + C e^{0} = -1 + C \quad\Rightarrow\quad C = 1.

Passo 6

Substituindo C=1 na expressão geral, obtemos a solução particular
\boxed{y(x) = e^{-2x} - (x+1)e^{-3x}.}

Passo 7

Como os coeficientes da equação são contínuos em todo \mathbb{R}, o maior intervalo de validade da solução é
(-\infty,\infty).

Resposta

y(x) = e^{-2x} - (x+1)e^{-3x},\quad \text{válida para }x\in(-\infty,\infty).á

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