Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e o maior intervalo no qual a solução é válida.
y^{\prime}(x)+x y(x)=x^{5}, y(0)=8.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(x) + x\,y(x) = x^5,\quad y(0)=8,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\tfrac{x^2}{2}\bigr).
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
e^{\tfrac{x^2}{2}}\,y'(x) + x\,e^{\tfrac{x^2}{2}}\,y(x) = x^5\,e^{\tfrac{x^2}{2}},
que no lado esquerdo é exatamente \bigl(y\,e^{\tfrac{x^2}{2}}\bigr)'.

Passo 3

Reescrevendo em forma exata e integrando, vem
\bigl(y\,e^{\tfrac{x^2}{2}}\bigr)' = x^5\,e^{\tfrac{x^2}{2}} \quad\Longrightarrow\quad y\,e^{\tfrac{x^2}{2}} = \int x^5\,e^{\tfrac{x^2}{2}}\,dx + C.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int x^5\,e^{\tfrac{x^2}{2}}\,dx fazemos u=\tfrac{x^2}{2}, de modo que du=x\,dx e x^4=(2u)^2=4u^2. Então
\int x^5\,e^{\tfrac{x^2}{2}}\,dx = \int 4u^2\,e^u\,du =4\bigl(u^2-2u+2\bigr)e^u + C_1.
Voltando a x,
\int x^5\,e^{\tfrac{x^2}{2}}\,dx = \bigl(x^4-4x^2+8\bigr)\,e^{\tfrac{x^2}{2}} + C_1.
Logo a solução geral é
y\,e^{\tfrac{x^2}{2}} = \bigl(x^4-4x^2+8\bigr)\,e^{\tfrac{x^2}{2}} + C \quad\Longrightarrow\quad y(x) = x^4-4x^2+8 + C\,e^{-\tfrac{x^2}{2}}.

Passo 5

Aplicando a condição y(0)=8, obtemos
8 = y(0) = 0^4 -4\cdot0^2 +8 + C\cdot e^0 \;\Longrightarrow\; C=0.
Portanto a solução particular é
y(x) = x^4 - 4x^2 + 8.

Passo 6

Como os coeficientes p(x)=x e q(x)=x^5 são contínuos para todo x\in\mathbb{R}, a solução existe e é única em todo o eixo real. O maior intervalo de validade é (-\infty,\infty).

Resposta

y(x) = x^4 -4x^2 +8, válida em \mathbb{R}.

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