Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e o maior intervalo no qual a solução é válida.
.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes não constantes. Vamos precisar escrever no formato padrão
e aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Colocamos a equação no formato padrão dividindo por
(note que
no intervalo de interesse):
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Como a condição inicial está em
, podemos tomar
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
e identificamos o lado esquerdo como derivada de produto:
No lado direito vem
Logo
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Portanto
Passo 6
Impondo a condição inicial
obtemos
Assim a solução é
Passo 7
Como dividimos por
, o ponto
é singular e não faz parte do domínio da solução. A condição inicial está em
, então o maior intervalo em que a solução é válida e contém
é
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
válida no intervalo
.