Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e o maior intervalo no qual a solução é válida.
x y^{\prime}(x)-2 y(x)=x^{3}, y(1)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x\,y'(x)-2\,y(x)=x^{3},\quad y(1)=1,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes não constantes. Vamos precisar escrever no formato padrão
y'(x)+P(x)\,y(x)=Q(x)
e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão dividindo por x (note que x\neq0 no intervalo de interesse):
y'(x)-\frac{2}{x}\,y(x)=x^{2}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int -\frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-2\ln|x|) =|x|^{-2}.
Como a condição inicial está em x=1>0, podemos tomar \mu(x)=x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por x^{-2} e identificamos o lado esquerdo como derivada de produto:
x^{-2}y'(x)-2x^{-3}y(x) =\bigl(y(x)\,x^{-2}\bigr)'.
No lado direito vem
x^{2}\cdot x^{-2}=1.
Logo
\bigl(y(x)\,x^{-2}\bigr)'=1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x)\,x^{-2}=\int 1\,dx = x + C.
Portanto
y(x)=x^{2}(x+C)=x^{3}+C\,x^{2}.

Passo 6

Impondo a condição inicial y(1)=1 obtemos
1=1^{3}+C\cdot1^{2}\quad\Longrightarrow\quad C=0.
Assim a solução é
y(x)=x^{3}.

Passo 7

Como dividimos por x, o ponto x=0 é singular e não faz parte do domínio da solução. A condição inicial está em x=1, então o maior intervalo em que a solução é válida e contém 1 é
(0,\infty).

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
\boxed{y(x)=x^{3},}
válida no intervalo (0,\infty).

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