Em cada um dos itens abaixo, faça o que se pede.
- Mostre que a equação diferencial dada possui um ponto singular regular em
.
- Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
- Encontre a solução em série de potências para
correspondente à maior raiz.
- Se as raízes não forem iguais e não diferem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente a menor raiz.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede, para
:
- Mostrar que
é um ponto singular regular. - Determinar a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
- Encontrar a solução em série de potências para
correspondente à maior raiz. - Se as raízes não forem iguais e não diferirem por um inteiro, encontrar também a solução em série correspondente à menor raiz.
Informações úteis dadas: a equação está na forma linear de segunda ordem com coeficiente de
igual a
, então
é um ponto singular (o coeficiente de
se anula em
). O restante será deduzido pela técnica de Frobenius (séries em potências com fator
).
Passo 2
Verificar que
é ponto singular regular.
Primeiro escrevo a equação na forma padrão dividindo por
(válido para
):
Aqui
e
. A definição prática de ponto singular regular em
exige que
e
sejam analíticos (ou, pelo menos, finitos) em
. Calculo:
Ambas são analíticas em
. Portanto
é um ponto singular regular.
Passo 3
Explicar e aplicar o método de Frobenius (passo a passo, do básico).
Ideia: para um ponto singular regular, procuramos uma solução da forma de Frobenius
onde
é um número (possivelmente não inteiro) a determinar — é o expoente principal. Aqui
captura o comportamento singular em
.
Calculo das derivadas necessárias:
Passo 4
Substituir as séries na equação diferencial e extrair a equação indicial.
Substituo em
:
Simplifico as potências:
Agrupo os dois primeiros somatórios:
Observando que
, isso dá
Reindexo o segundo somatório para a mesma potência
: na segunda soma faço
, assim
Agora para cada potência
(com
) o coeficiente deve ser zero:
onde entendemos
.
A equação indicial surge olhando o menor valor de
, que é
. Para
obtemos:
Como
por hipótese, a equação indicial é
As raízes são
Passo 5
Escrever explicitamente a relação de recorrência encontrada e comentá-la.
A relação de recorrência geral (obtida acima) é
ou isolando
,
com
. Observação prática: essa recorrência relaciona coeficientes com passo 2, portanto as séries pares (índices
) e impares (índices
) separam-se; normalmente uma das constantes iniciais é
(para a cadeia par) e a outra seria
(para a cadeia ímpar).
Passo 6
Verificar diferença de raízes e implicações.
As raízes são
e
. Elas são distintas e sua diferença é
, que não é um inteiro. Pelo teorema de Frobenius, isso garante a existência de duas soluções linearmente independentes da forma
vezes séries (uma para cada
) — não há termos de logaritmo.
Agora obtenho explicitamente as duas soluções em série para
.
Passo 7
Construir a solução correspondente à maior raiz
.
Tomamos
e aplicamos a recorrência
Calculo explícito do factor no denominador:
. Assim
Para
isso dá
logo
. Como a recorrência conecta
com
, e
e
, segue que todos os coeficientes ímpares são zero: a série tem apenas termos pares. Para os índices pares
podemos escrever a recorrência para
:
Coloco
. Então
Simplifico o denominador:
Logo
Desenvolvendo recursivamente a partir de
, obtemos uma fórmula fechada (produto):
Portanto a solução associada a
é (escolhendo
para normalizar a constante livre)
Para termos concretos, os primeiros termos são (com
):
ou mais explicitamente
Passo 8
Construir a solução correspondente à menor raiz
.
Agora tomo
. A recorrência geral é
Para
obtemos
logo
e novamente todos os coeficientes ímpares serão zero. Para os índices pares
,
Repetindo recursivamente a partir de
, obtemos a fórmula em produto:
Assim, escolhendo novamente
para normalizar a constante livre, a solução associada a
é
Os primeiros termos são
isto é
Passo 9
Resumo das propriedades e independência linear.
- As duas soluções
e obtidas são linearmente independentes porque correspondem a expoentes e cuja diferença não é inteiro. Assim a combinação linear geral da equação é
válida para
(região onde dividimos por
e onde as séries de Frobenius convergem dentro de algum raio de convergência determinado pelas singularidades mais próximas no plano complexo).
Resposta
Sim —
é ponto singular regular.
Equação indicial: . Raízes:
,
.
Relação de recorrência geral:
Equação indicial:
Relação de recorrência geral:
Solução correspondente à maior raiz
:
Solução correspondente à menor raiz
: