Encontre a solução
da equação de Laplace no retângulo
e
que satisfaz as condições de contorno
onde
Passo 1
O problema é
com
O conteúdo é resolver a equação de Laplace por separação de variáveis e impor contorno de Dirichlet com expansão em série de senos em
.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo em
e dividindo por
dá
Para satisfazer
escolhemos o problema de Sturm–Liouville
que tem autovalores
e autofunções
Passo 3
Para cada
,
satisfaz
com
(pois
). A solução é
Logo a combinação geral que satisfaz as bordas em
e em
é
Em
deve valer
, isto é
Passo 4
Expandimos
em série de senos no intervalo
:
onde
Cálculo direto (por partes em cada trecho) mostra que
Passo 5
Igualando termos em
em
obtemos
Portanto a solução é