Encontre a solução u(x, y) da equação de Laplace no retângulo 0<x<3 e 0<y<2 que satisfaz as condições de contorno
\begin{gathered} u(x, 0)=0, \quad u(x, 2)=0, \quad 0<x<3 \\\ u(0, y)=0, \quad u(3, y)=f(y), \quad 0<y<2 \end{gathered}
onde f(y)=\left\{\begin{array}{ccc}y, & \text { se } & 0 \leq x \leq 1, \\\\ 2-y, & \text { se } & 1 \leq y \leq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O problema é
\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0,&0<x<3,\;0<y<2,\\\ u(x,0)=0,\;u(x,2)=0,&0<x<3,\\\ u(0,y)=0,\;u(3,y)=f(y),&0<y<2, \end{cases}
com
f(y)=\begin{cases} y,&0\le y\le1,\\\\ 2-y,&1\le y\le2. \end{cases}
O conteúdo é resolver a equação de Laplace por separação de variáveis e impor contorno de Dirichlet com expansão em série de senos em y.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0 e dividindo por XY
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0\;\Longrightarrow\;\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=\lambda.
Para satisfazer Y(0)=Y(2)=0 escolhemos o problema de Sturm–Liouville
Y''+\lambda Y=0,\quad Y(0)=Y(2)=0
que tem autovalores
\lambda_n=\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^{2},\quad n=1,2,3,\dots,
e autofunções
Y_n(y)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}y\bigr).

Passo 3

Para cada n, X_n satisfaz
X_n''-\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^{2}X_n=0,
com X_n(0)=0 (pois u(0,y)=0). A solução é
X_n(x)=A_n\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr).
Logo a combinação geral que satisfaz as bordas em y=0,2 e em x=0 é
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}y\bigr).
Em x=3 deve valer u(3,y)=f(y), isto é
f(y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\cdot3\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}y\bigr).

Passo 4

Expandimos f(y) em série de senos no intervalo [0,2]:
f(y)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}y\bigr),
onde
b_n=\frac{2}{2}\int_{0}^{2}f(y)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}y\bigr)\,dy =\int_{0}^{2}f(y)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}y\bigr)\,dy.
Cálculo direto (por partes em cada trecho) mostra que
b_n=\begin{cases} \displaystyle \frac{8}{n^{2}\pi^{2}}\,(-1)^{\tfrac{n-1}{2}},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}í

Passo 5

Igualando termos em \sin(\tfrac{n\pi}{2}y) em u(3,y)=f(y) obtemos
A_n\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{2}\bigr)=b_n \quad\Longrightarrow\quad A_n=\frac{b_n}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{2}\bigr)}.
Portanto a solução é
\boxed{ u(x,y) =\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty} \frac{8\,(-1)^{\tfrac{n-1}{2}}}{n^{2}\pi^{2}}\, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)}% {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{2}\bigr)}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}y\bigr). }

Resposta

u(x,y) =\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty} \frac{8\,(-1)^{\tfrac{n-1}{2}}}{n^{2}\pi^{2}}\, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr)}% {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{2}\bigr)}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}y\bigr).

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