Considere uma barra metálica com 25 cm de comprimento, isolada nas extremidades, cuja distribuição inicial de calor é u(x, 0)=x para 0<x<25
a) Descreva o problema matematicamente.
b) Encontre a temperatura u(x, t).

Passo 1

O enunciado trata da propagação de calor numa barra metálica de comprimento L=25 cm, isolada em ambas as extremidades. O modelo matemático é a equação do calor unidimensional com condições de Neumann (isolamento) e condição inicial
u(x,0)=x,\quad 0<x<25.
O parâmetro físico é o coeficiente de difusividade térmica \kappa>0.

Passo 2

Escrevemos o problema PDE com as condições:
\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\quad 0<x<25,\;t>0,
\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=0,\quad \frac{\partial u}{\partial x}(25,t)=0,
u(x,0)=x.
Para resolver, usamos separação de variáveis e expandimos u(x,t) em série de cossenos (autofunções do problema de Neumann):
u(x,t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,e^{-\kappa\,(n\pi/L)^2\,t}.

Passo 3

O coeficiente constante a_0 é a média de u(x,0) em [0,L]:
a_0=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}x\,dx =\frac{1}{25}\,\frac{L^2}{2} =\frac{25^2}{2\cdot25} =12{,}5.

Passo 4

Para n\ge1,
a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}x\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Façamos a integral por partes:
\int_{0}^{L}x\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =\frac{L^2}{n^2\pi^2}\bigl(\cos(n\pi)-1\bigr) =\frac{L^2}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).
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a_n=\frac{2}{L}\cdot\frac{L^2}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr) =\frac{2L}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).
Como (-1)^n-1=0 para n par e -2 para n ímpar, temos
a_{2m}=0,\quad a_{2m-1}=-\frac{4L}{(2m-1)^2\pi^2}.

Passo 5

Substituindo L=25 cm e os coeficientes na expansão, obtemos
u(x,t) =12{,}5 -\sum_{m=1}^{\infty}\frac{4\cdot25}{(2m-1)^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}{25}\Bigr) \exp\!\Bigl[-\kappa\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi}{25}\bigr)^{2}t\Bigr].

Resposta

u(x,t) =12{,}5 -\sum_{m=1}^{\infty}\frac{100}{(2m-1)^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2m-1)\pi x}{25}\Bigr) \exp\!\Bigl[-\kappa\bigl(\tfrac{(2m-1)\pi}{25}\bigr)^{2}t\Bigr].

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