Considere uma barra metálica com 25 cm de comprimento, isolada nas extremidades, cuja distribuição inicial de calor é
para
a) Descreva o problema matematicamente.
b) Encontre a temperatura
.
a) Descreva o problema matematicamente.
b) Encontre a temperatura
Passo 1
O enunciado trata da propagação de calor numa barra metálica de comprimento
cm, isolada em ambas as extremidades. O modelo matemático é a equação do calor unidimensional com condições de Neumann (isolamento) e condição inicial
O parâmetro físico é o coeficiente de difusividade térmica
.
Passo 2
Escrevemos o problema PDE com as condições:
Para resolver, usamos separação de variáveis e expandimos
em série de cossenos (autofunções do problema de Neumann):
Passo 3
O coeficiente constante
é a média de
em
:
Passo 4
Para
,
Façamos a integral por partes:
Logo
Como
para
par e
para
ímpar, temos
Passo 5
Substituindo
cm e os coeficientes na expansão, obtemos