Considere o problema de condução de calor:
\begin{array}{lr} u_{x x}=u_{t}, & 0<x<30 ; \\\ u(0, t)=20 & t>0 \\\ u(30, t)=50 & t>0 \\\ u(x, 0)=60-2 x, & 0<x<30 \end{array}
Encontre a distribuição de temperatura estado estacionário e o problema de valores de contorno que determina a distribuição transiente.

Passo 1

O enunciado dá o problema de condução de calor
u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<30,\;t>0
com condições de contorno
u(0,t)=20,\quad u(30,t)=50
e condição inicial
u(x,0)=60-2x,\quad 0<x<30.
Precisamos encontrar a distribuição de temperatura em regime estacionário e formular o problema de contorno para a parte transiente.

Passo 2

A distribuição em regime estacionário v(x) satisfaz a equação
v''(x)=0
com as condições
v(0)=20,\quad v(30)=50.
Integrando duas vezes vem
v(x)=a\,x+b.
Impondo v(0)=b=20 e v(30)=30a+20=50 obtemos a=1. Logo
v(x)=x+20.

Passo 3

Definimos a parte transiente
w(x,t)=u(x,t)-v(x).
Como v''=0 e v não depende de t, segue
w_{t}=u_{t}-0,\quad w_{xx}=u_{xx}-0,
de modo que
w_{t}=w_{xx}.
As condições de contorno homogêneas são
w(0,t)=u(0,t)-v(0)=20-20=0,
w(30,t)=u(30,t)-v(30)=50-50=0,
e a condição inicial é
w(x,0)=u(x,0)-v(x)=(60-2x)-(x+20)=40-3x.

Resposta

A solução em regime estacionário é
v(x)=x+20,
e a parte transiente w(x,t) satisfaz o problema de contorno
\begin{cases} w_{t}=w_{xx},&0<x<30,\;t>0,\\\ w(0,t)=0,\quad w(30,t)=0,&t>0,\\\ w(x,0)=40-3x,&0<x<30. \end{cases}

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