Calcule a transformada de Laplace inversa de
3 s^2-s+1s(s^2+4)

Passo 1

Aqui a gente quer achar a transformada inversa de Laplace de 3s^2-s+1s,(s^2+4). O conteúdo é transformada inversa de Laplace e a gente vai usar decomposição em frações parciais e tabelas básicas de transformadas.

Passo 2

Primeiro a gente monta a decomposição em frações parciais: escrevemos
3s^2-s+1s,(s^2+4)=As+Bs+Cs^2+4
Isso é legal porque cada termo individual tem transformada inversa conhecida.

Passo 3

Agora multiplicamos ambos os lados por s,(s^2+4) e igualamos polinômios:
3s^2-s+1=A(s^2+4)+(Bs+C)s=(A+B)s^2+Cs+4A
Comparando coeficientes obtemos o sistema:
A+B=3, C=-1, 4A=1

Passo 4

Resolvendo esse sistema vem
A=tfrac14, B=3-tfrac14=tfrac114, C=-1

Passo 5

Substituindo de volta, temos
3s^2-s+1s(s^2+4)=1/4s+(11/4)s-1s^2+4 =141s+114ss^2+4-1s^2+4
Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
L^-1[1/s]=1,
L^-1[s/(s^2+4)]=cos(2t) e
L^-1[1/(s^2+4)]=tfrac12sin(2t).

Passo 6

Juntando tudo a resposta final em função do tempo é

Resposta

f(t)=14+114cos(2t)-12sin(2t)

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