Encontre as soluções das EDOs de Cauchy - Euler de segunda ordem.
x^{2} Y^{\prime \prime}+7 x y^{\prime}+9 y=0, y(1)=1, y^{\prime}(1)=-5.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a solução da equação diferencial de Cauchy–Euler de segunda ordem com condições iniciais. Os dados são:
x^{2}y''+7x y'+9y=0,
com as condições
y(1)=1,\qquad y'(1)=-5.
Queremos achar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x>0 (assumimos x>0 porque aparece \ln x mais adiante) e que também satisfaz as condições em x=1.

Passo 2

Estratégia (aqui explico a ideia da técnica que vamos usar, passo a passo):
Equações de Cauchy–Euler têm a forma
x^{2}y''+a x y'+b y=0,
onde os coeficientes são potências de x. Um método padrão é tentar uma solução do tipo potência:
y=x^{m},
onde m é um número a ser determinado. Vou mostrar por que isso funciona e como extrair a equação para m.
Se y=x^{m}, então calculamos as derivadas necessárias:
y'=m x^{m-1},
y''=m(m-1)x^{m-2}.
Essas fórmulas vêm direto da regra de potência: a derivada de x^{m} é m x^{m-1}, e derivando novamente aplicamos a regra outra vez.

Passo 3

Substituímos y, y', y'' na equação diferencial:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big) + 7x\big(m x^{m-1}\big) + 9\big(x^{m}\big)=0.
Agora simplificamos fatorando x^{m} (note que x^{2}x^{m-2}=x^{m} e x x^{m-1}=x^{m}):
x^{m}\big(m(m-1) + 7m + 9\big)=0.
Para x\neq 0 temos x^{m}\neq 0, logo a parte que importa é o polinômio em m:
m(m-1) + 7m + 9 = 0.

Passo 4

Resolvemos o polinômio em m. Primeiro desenvolvendo:
m^{2}-m+7m+9 = m^{2}+6m+9.
Portanto a equação característica é
m^{2}+6m+9=0.
Reconhecemos que isso é um quadrado perfeito:
m^{2}+6m+9=(m+3)^{2}=0.
Logo há uma raiz dupla:
m=-3\quad\text{(multiplicidade 2)}.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes distintas m_{1} e m_{2}, as soluções são x^{m_{1}} e x^{m_{2}}. No caso de raiz dupla m, as soluções independentes são
y_{1}=x^{m},\qquad y_{2}=x^{m}\ln x.
Vou justificar rapidamente o porquê de x^{m}\ln x: trata-se de um procedimento padrão de redução de ordem para equações lineares; ao tentar uma solução do tipo v(x)x^{m} e impondo independência linear, chega-se a v(x)=\ln x quando a raiz é dupla. Não precisa decorar sem entender, mas neste momento pode confiar que, para Euler com raiz dupla, multiplicamos por \ln x para obter a segunda solução linearmente independente.
Portanto, a solução geral da nossa equação é
y(x)=C_{1}x^{-3}+C_{2}x^{-3}\ln x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro escrevo a solução geral de novo:
y(x)=C_{1}x^{-3}+C_{2}x^{-3}\ln x.
Para usar y(1)=1 calculo y(1). Como 1^{-3}=1 e \ln 1=0,
y(1)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 1 \cdot 0 = C_{1}.
Logo da condição y(1)=1 obtemos
C_{1}=1.

Passo 7

Precisamos agora usar y'(1)=-5. Primeiro calculo y'(x) de forma detalhada (não pule etapas):
Escrevo a segunda parcela como produto para derivar com regra do produto:
y(x)=C_{1}x^{-3} + C_{2}\big(x^{-3}\ln x\big).
Derivando termo a termo:
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\big(C_{1}x^{-3}\big)=C_{1}\cdot(-3)x^{-4}=-3C_{1}x^{-4}.
Derivada do segundo termo usando regra do produto ( u=x^{-3}, v=\ln x):
u'= -3x^{-4},\qquad v'=\frac{1}{x}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(x^{-3}\ln x\big)=u'v+uv' = (-3x^{-4})\ln x + x^{-3}\cdot\frac{1}{x}.
Note que x^{-3}\cdot\frac{1}{x}=x^{-4}. Assim
\frac{d}{dx}\big(x^{-3}\ln x\big)= -3x^{-4}\ln x + x^{-4}.
Multiplicando por C_{2} e somando com a derivada do primeiro termo, obtemos
y'(x) = -3C_{1}x^{-4} + C_{2}\big(-3x^{-4}\ln x + x^{-4}\big).
Fatorando x^{-4}:
y'(x) = x^{-4}\big(-3C_{1} + C_{2}(-3\ln x + 1)\big).

Passo 8

Agora avalio em x=1. Como 1^{-4}=1 e \ln 1=0, temos
y'(1) = -3C_{1} + C_{2}\cdot( -3\cdot 0 + 1) = -3C_{1} + C_{2}.
Usando C_{1}=1 e a condição y'(1)=-5, obtemos a equação
-3\cdot 1 + C_{2} = -5.
Logo
C_{2} = -5 + 3 = -2.

Passo 9

Substituímos C_{1} e C_{2} na solução geral. Com C_{1}=1 e C_{2}=-2 temos
y(x)=1\cdot x^{-3} + (-2)\,x^{-3}\ln x = x^{-3}\big(1-2\ln x\big).
Uma forma equivalente e talvez mais bonita é
y(x)=\frac{1-2\ln x}{x^{3}}.

Resposta

y(x)=\frac{1-2\ln x}{x^{3}}

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