Encontre as soluções das EDOs de Cauchy - Euler de segunda ordem.
.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a solução da equação diferencial de Cauchy–Euler de segunda ordem com condições iniciais. Os dados são:
com as condições
Queremos achar a função
que satisfaz a equação diferencial para
(assumimos
porque aparece
mais adiante) e que também satisfaz as condições em
.
Passo 2
Estratégia (aqui explico a ideia da técnica que vamos usar, passo a passo):
Equações de Cauchy–Euler têm a forma
Equações de Cauchy–Euler têm a forma
onde os coeficientes são potências de
. Um método padrão é tentar uma solução do tipo potência:
onde
é um número a ser determinado. Vou mostrar por que isso funciona e como extrair a equação para
.
Se
, então calculamos as derivadas necessárias:
Essas fórmulas vêm direto da regra de potência: a derivada de
é
, e derivando novamente aplicamos a regra outra vez.
Passo 3
Substituímos
na equação diferencial:
Agora simplificamos fatorando
(note que
e
):
Para
temos
, logo a parte que importa é o polinômio em
:
Passo 4
Resolvemos o polinômio em
. Primeiro desenvolvendo:
Portanto a equação característica é
Reconhecemos que isso é um quadrado perfeito:
Logo há uma raiz dupla:
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes distintas
e
, as soluções são
e
. No caso de raiz dupla
, as soluções independentes são
Vou justificar rapidamente o porquê de
: trata-se de um procedimento padrão de redução de ordem para equações lineares; ao tentar uma solução do tipo
e impondo independência linear, chega-se a
quando a raiz é dupla. Não precisa decorar sem entender, mas neste momento pode confiar que, para Euler com raiz dupla, multiplicamos por
para obter a segunda solução linearmente independente.
Portanto, a solução geral da nossa equação é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro escrevo a solução geral de novo:
Para usar
calculo
. Como
e
,
Logo da condição
obtemos
Passo 7
Precisamos agora usar
. Primeiro calculo
de forma detalhada (não pule etapas):
Escrevo a segunda parcela como produto para derivar com regra do produto:
Derivando termo a termo:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo usando regra do produto (
,
):
Portanto
Note que
. Assim
Multiplicando por
e somando com a derivada do primeiro termo, obtemos
Fatorando
:
Passo 8
Agora avalio em
. Como
e
, temos
Usando
e a condição
, obtemos a equação
Logo
Passo 9
Substituímos
e
na solução geral. Com
e
temos
Uma forma equivalente e talvez mais bonita é