Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
15.
y=\tan x, \quad x=0, \quad y=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas curvas y=\tan x, x=0 e y=1.\n
Informações relevantes que temos e que vamos usar depois:
  • As curvas são y=\tan x (uma função trigonométrica), a reta vertical x=0 e a reta horizontal y=1.\n
  • Para ter uma região fechada precisamos que y=\tan x e y=1 se intersectem em algum ponto com x\ge 0; portanto precisaremos resolver a equação \tan x = 1 para encontrar o ponto de interseção relevante.\n
  • A intenção é calcular a área como uma integral definida do tipo “integral da reta superior menos a curva inferior” com respeito a x entre os limites adequados.

Passo 2

Encontrar o ponto de interseção entre y=\tan x e y=1 resolvendo \tan x = 1.\n
A equação \tan x = 1 tem soluções gerais x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi para k\in\mathbb{Z}. Entre essas soluções, a que fica no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}) (próxima de 0) é
x=\frac{\pi}{4}.
Escolhemos essa solução porque a região também é limitada por x=0 e queremos o primeiro encontro à direita de x=0. Portanto o segmento em x que fecha a região é de x=0 até x=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Determinar qual curva é a superior (o “topo” da região) e qual é a inferior entre x=0 e x=\dfrac{\pi}{4}.\n
Avaliação rápida: \tan 0 = 0 e em x=\dfrac{\pi}{4} temos \tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1. Além disso, a função \tan x é crescente no intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) porque sua derivada é \operatorname{sec}^2 x>0 ali. Logo, para x\in[0,\tfrac{\pi}{4}] temos 0\le \tan x\le 1.\n
Portanto a reta y=1 fica acima de y=\tan x nesse intervalo, isto é, a função superior é y_{\text{top}}=1 e a inferior é y_{\text{bot}}=\tan x.

Passo 4

Montar a integral que dá a área: a área A entre duas curvas y=g(x) (superior) e y=f(x) (inferior) em a\le x\le b é
A=\int_{a}^{b} \bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.
Aqui g(x)=1, f(x)=\tan x, a=0, b=\dfrac{\pi}{4}. Logo
A=\int_{0}^{\pi/4} \bigl(1-\tan x\bigr)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \bigl(1-\tan x\bigr)\,dx passo a passo.\n
Separando:
\int_{0}^{\pi/4} \bigl(1-\tan x\bigr)\,dx = \int_{0}^{\pi/4} 1\,dx \;-\; \int_{0}^{\pi/4} \tan x\,dx.
A primeira integral é simples:
\int_{0}^{\pi/4} 1\,dx = \left[ x \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{\pi}{4}.
Agora a integral de \tan x. Lembre que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Para integrar \tan x usamos a substituição u=\cos x. Então du = -\sin x\,dx, ou seja \sin x\,dx = -du. Assim,
\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C.
Portanto a primitiva de \tan x é -\ln|\cos x|. Avaliando no intervalo:
\int_{0}^{\pi/4} \tan x\,dx = \left[-\ln|\cos x|\right]_{0}^{\pi/4} = -\ln\!\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{4}\bigr) \;+\; \ln\!\bigl(\cos 0\bigr).
Sabemos \cos 0 = 1 e \cos\!\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
\int_{0}^{\pi/4} \tan x\,dx = -\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \ln 1 = -\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Usando \ln\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\ln(1/\sqrt{2})=-\ln(\sqrt{2})= -\tfrac{1}{2}\ln 2, obtemos
\int_{0}^{\pi/4} \tan x\,dx = -\left(-\tfrac{1}{2}\ln 2\right) = \tfrac{1}{2}\ln 2.
Agora juntamos as duas integrais:
A = \frac{\pi}{4} \;-\; \frac{1}{2}\ln 2.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2

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