Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
15.
15.
Passo 1
O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas curvas
,
e
.\n
Informações relevantes que temos e que vamos usar depois:
Informações relevantes que temos e que vamos usar depois:
- As curvas são
(uma função trigonométrica), a reta vertical e a reta horizontal .\n - Para ter uma região fechada precisamos que
e se intersectem em algum ponto com ; portanto precisaremos resolver a equação para encontrar o ponto de interseção relevante.\n - A intenção é calcular a área como uma integral definida do tipo “integral da reta superior menos a curva inferior” com respeito a
entre os limites adequados.
Passo 2
Encontrar o ponto de interseção entre
e
resolvendo
.\n
A equação tem soluções gerais
para
. Entre essas soluções, a que fica no intervalo
(próxima de
) é
A equação
Escolhemos essa solução porque a região também é limitada por
e queremos o primeiro encontro à direita de
. Portanto o segmento em
que fecha a região é de
até
.
Passo 3
Determinar qual curva é a superior (o “topo” da região) e qual é a inferior entre
e
.\n
Avaliação rápida: e em
temos
. Além disso, a função
é crescente no intervalo
porque sua derivada é
ali. Logo, para
temos
.\n
Portanto a reta fica acima de
nesse intervalo, isto é, a função superior é
e a inferior é
.
Avaliação rápida:
Portanto a reta
Passo 4
Montar a integral que dá a área: a área
entre duas curvas
(superior) e
(inferior) em
é
Aqui
,
,
,
. Logo
Passo 5
Calcular a integral
passo a passo.\n
Separando:
Separando:
A primeira integral é simples:
Agora a integral de
. Lembre que
. Para integrar
usamos a substituição
. Então
, ou seja
. Assim,
Portanto a primitiva de
é
. Avaliando no intervalo:
Sabemos
e
. Então
Usando
, obtemos
Agora juntamos as duas integrais: