Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
18.
y=1-x^{2}, \quad y=-2 x-4

Passo 1

O enunciado pede a área das regiões limitadas pelas curvas y=1-x^{2} e y=-2x-4.
Informações dadas:
  • Uma é uma parábola (abre para baixo): y=1-x^{2}.
  • Outra é uma reta: y=-2x-4.
    Pergunta explícita: calcular a área da região fechada pelas duas curvas (ou seja, a área entre elas).

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção das curvas, pois a área entre curvas é calculada integrando entre esses pontos. Para isso igualamos as duas expressões de y:
1-x^{2} = -2x-4.
Colocando tudo em um lado:
-x^{2}+2x+5=0.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente positivo no quadrado:
x^{2}-2x-5=0.
Essa é uma equação quadrática; usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para resolvê-la. A fórmula diz que, para \,ax^{2}+bx+c=0\,,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-2, c=-5. Então
x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-5)}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{4+20}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{24}}{2} =\frac{2\pm 2\sqrt{6}}{2} =1\pm\sqrt{6}.
Logo os pontos de interseção têm abscissas x_{1}=1-\sqrt{6} e x_{2}=1+\sqrt{6}.

Passo 3

Precisamos saber qual curva é a superior (mais alta) no intervalo [\,1-\sqrt{6},\,1+\sqrt{6}\,] para formular a integral como \int(\text{superior} - \text{inferior})\,dx. Testamos um ponto interior simples, por exemplo x=1 (que está entre 1-\sqrt6 e 1+\sqrt6):
  • Para a parábola: y=1-1^{2}=0.
  • Para a reta: y=-2\cdot1-4=-6.
    Como 0>-6, a parábola y=1-x^{2} está acima da reta y=-2x-4 no intervalo entre as interseções. Portanto a área é
\text{Área}=\int_{\,1-\sqrt{6}\,}^{\,1+\sqrt{6}\,}\big((1-x^{2})-(-2x-4)\big)\,dx.Á

Passo 4

Simplificamos o integrando:
(1-x^{2})-(-2x-4)=1-x^{2}+2x+4=5+2x-x^{2}.
Assim a integral vira
\text{Área}=\int_{1-\sqrt{6}}^{1+\sqrt{6}} \big(5+2x-x^{2}\big)\,dx.Á
Agora precisamos das primitivas (antiderivadas) termo a termo. Para polinômios:
  • \displaystyle\int 5\,dx = 5x,
  • \displaystyle\int 2x\,dx = x^{2} (porque a primitiva de x é x^{2}/2, multiplicando por 2 dá x^{2}),
  • \displaystyle\int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.
    Portanto uma primitiva conveniente é
F(x)=5x+x^{2}-\frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a área é F(1+\sqrt{6})-F(1-\sqrt{6}). Vamos calcular F nos dois limites. Para abreviar, defina s=\sqrt{6}.
Calcule F(1+s):
(1+s)^{2}=1+2s+s^{2}=1+2s+6=7+2s,
(1+s)^{3}=1+3s+3s^{2}+s^{3}=1+3s+18+s^{3}=19+3s+s^{3}.
Mas s^{3}=(\sqrt{6})^{3}=6\sqrt{6}=6s, então
(1+s)^{3}=19+3s+6s=19+9s.
Agora
F(1+s)=5(1+s)+(7+2s)-\frac{1}{3}(19+9s).
Agrupando constantes e termos em s:
constantes: 5+7-\frac{19}{3}=12-\frac{19}{3}=\frac{36-19}{3}=\frac{17}{3}.
coeficiente de s: 5+2-\frac{9}{3}=7-3=4.
Logo
F(1+s)=\frac{17}{3}+4s.
Agora calcule F(1-s) de maneira análoga (pode-se notar simetria; aqui fazemos explicitamente):
(1-s)^{2}=7-2s,\qquad (1-s)^{3}=19-9s,
F(1-s)=5(1-s)+(7-2s)-\frac{1}{3}(19-9s).
Constantes: novamente \frac{17}{3}. Coeficiente de s: -5-2+3=-4. Assim
F(1-s)=\frac{17}{3}-4s.

Passo 6

Subtraindo:
\text{Área}=F(1+s)-F(1-s)=\Big(\frac{17}{3}+4s\Big)-\Big(\frac{17}{3}-4s\Big)=8s=8\sqrt{6}.Á
Portanto a área pedida é 8\sqrt{6}. (Observação rápida: esse resultado também poderia ser visto pela simetria ímpar dos termos em s, que faz as partes constantes cancelarem.)

Resposta

8\sqrt{6}

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