Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
18.
18.
Passo 1
O enunciado pede a área das regiões limitadas pelas curvas
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Uma é uma parábola (abre para baixo):
. - Outra é uma reta:
.
Pergunta explícita: calcular a área da região fechada pelas duas curvas (ou seja, a área entre elas).
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção das curvas, pois a área entre curvas é calculada integrando entre esses pontos. Para isso igualamos as duas expressões de
:
Colocando tudo em um lado:
Multiplicando por
para ficar com coeficiente positivo no quadrado:
Essa é uma equação quadrática; usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para resolvê-la. A fórmula diz que, para
Aqui
,
,
. Então
Logo os pontos de interseção têm abscissas
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva é a superior (mais alta) no intervalo
para formular a integral como
. Testamos um ponto interior simples, por exemplo
(que está entre
e
):
- Para a parábola:
. - Para a reta:
.
Como, a parábola está acima da reta no intervalo entre as interseções. Portanto a área é
Passo 4
Simplificamos o integrando:
Assim a integral vira
Agora precisamos das primitivas (antiderivadas) termo a termo. Para polinômios:
-
, -
(porque a primitiva de é , multiplicando por 2 dá ), -
.
Portanto uma primitiva conveniente é
Passo 5
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a área é
. Vamos calcular
nos dois limites. Para abreviar, defina
.
Calcule
:
Mas
, então
Agora
Agrupando constantes e termos em
:
constantes: .
coeficiente de :
.
Logo
constantes:
coeficiente de
Logo
Agora calcule
de maneira análoga (pode-se notar simetria; aqui fazemos explicitamente):
Constantes: novamente
. Coeficiente de
:
. Assim
Passo 6
Subtraindo:
Portanto a área pedida é
. (Observação rápida: esse resultado também poderia ser visto pela simetria ímpar dos termos em
, que faz as partes constantes cancelarem.)