- Encontre as soluções das equações abaixo.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação exponencial
e pede para encontrar as soluções, isto é, os valores de
que tornam a igualdade verdadeira. Informações relevantes:
- Lado esquerdo: base
elevada ao expoente . - Lado direito: o número
.
Passo 2
Ideia útil para este tipo de equação: se duas potências têm a mesma base positiva diferente de
, então os expoentes são iguais. Formalmente, para
e
,
Isto funciona porque a função
é injetora quando
e
(por exemplo,
). Então, se conseguimos escrever ambos os lados com a mesma base
, podemos simplesmente igualar os expoentes.
Passo 3
Reconhecer
como potência de
. Como
podemos reescrever a equação original com a mesma base:
Passo 4
Aplicando a propriedade do passo anterior (igualar expoentes), obtemos a equação linear em
:
Agora resolvemos essa equação passo a passo:
Passo 5
(Alternativa — usando logaritmos, método que sempre funciona mesmo quando não é fácil escrever o outro lado na mesma base.) Tomando logaritmo na base
em ambos os lados:
Usando
, vem
que leva novamente a
.
Passo 6
Verificação: substituir
na equação inicial:
logo a solução está correta.