1. Encontre as soluções das equações abaixo.
(b) 2^{2 x+1}=16

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial 2^{2x+1}=16 e pede para encontrar as soluções, isto é, os valores de x que tornam a igualdade verdadeira. Informações relevantes:
  • Lado esquerdo: base 2 elevada ao expoente 2x+1.
  • Lado direito: o número 16.

Passo 2

Ideia útil para este tipo de equação: se duas potências têm a mesma base positiva diferente de 1, então os expoentes são iguais. Formalmente, para a>0 e a\neq1,
a^{u}=a^{v}\quad\Rightarrow\quad u=v.
Isto funciona porque a função a^{t} é injetora quando a>0 e a\neq1 (por exemplo, 2^3\neq2^4). Então, se conseguimos escrever ambos os lados com a mesma base a, podemos simplesmente igualar os expoentes.

Passo 3

Reconhecer 16 como potência de 2. Como
16=2^{4},
podemos reescrever a equação original com a mesma base:
2^{2x+1}=2^{4}.

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo anterior (igualar expoentes), obtemos a equação linear em x:
2x+1=4.
Agora resolvemos essa equação passo a passo:
2x=4-1=3,
x=\frac{3}{2}.

Passo 5

(Alternativa — usando logaritmos, método que sempre funciona mesmo quando não é fácil escrever o outro lado na mesma base.) Tomando logaritmo na base 2 em ambos os lados:
\log_{2}\bigl(2^{2x+1}\bigr)=\log_{2}(16).
Usando \log_{2}\bigl(2^{y}\bigr)=y, vem
2x+1=\log_{2}(16)=4,
que leva novamente a x=\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Verificação: substituir x=\tfrac{3}{2} na equação inicial:
2^{2\cdot\frac{3}{2}+1}=2^{3+1}=2^{4}=16,
logo a solução está correta.

Resposta

x=\tfrac{3}{2}=1,5

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