1. Encontre as soluções das equações abaixo.
(d) 2 \cdot 3^{x}=3 \cdot 2^{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação
2\cdot 3^{x}=3\cdot 2^{x}.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A equação envolve exponenciais com bases diferentes: base 3 em 3^{x} e base 2 em 2^{x}.
    O que se pede:
  • Determinar todos os valores de x que satisfazem a igualdade acima.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: tentar isolar a potência com a mesma base ou transformar a equação numa forma em que possamos comparar expoentes. Como 2^{x} e 3^{x} aparecem multiplicando constantes, uma estratégia simples é dividir ambos os lados da equação por 2^{x} (que nunca é zero para x real), ficando:
2\cdot\frac{3^{x}}{2^{x}}=3.
Aqui foi usada a ideia básica de equivalência de equações: dividir os dois lados por um mesmo número (desde que não seja zero) preserva as soluções.

Passo 3

Usar a propriedade das potências \dfrac{a^{x}}{b^{x}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{x}. Aplicando com a=3 e b=2 obtemos:
2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=3.
Essa propriedade vem da regra a^{x}=e^{x\ln a}, ou mais elementarmente de multiplicar 3^{x}=3\cdot3\cdot\ldots e 2^{x}=2\cdot2\cdot\ldots e simplificar termo a termo quando x é inteiro; a generalização para real usa logaritmos, mas a propriedade vale para todo x\in\mathbb{R} quando a>0, b>0.

Passo 4

Isolar \left(\dfrac{3}{2}\right)^{x}. Dividindo ambos os lados por 2:
\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\frac{3}{2}.
Agora observamos que o lado direito é exatamente a mesma base \dfrac{3}{2} elevada a 1. Ou seja, temos
\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\left(\frac{3}{2}\right)^{1}.

Passo 5

Usar a propriedade de injetividade da função exponencial de base positiva distinta de 1: se a>0 e a\neq1, então a^{u}=a^{v} implica u=v. No nosso caso a=\dfrac{3}{2}>0 e a\neq1, logo igualando os expoentes obtemos
x=1.

Passo 6

Alternativa via logaritmo (útil para problemas semelhantes): a partir de \left(\dfrac{3}{2}\right)^{x}=\dfrac{3}{2}, aplicar log natural em ambos os lados:
x\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)=\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
Como \ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)\neq0, divide-se por esse número para obter x=1. Essa técnica (tomar logaritmo) é a forma padrão quando as bases não se tornam iguais imediatamente.

Passo 7

Verificação final: substituir x=1 na equação original:
2\cdot 3^{1}=2\cdot 3=6, \qquad 3\cdot 2^{1}=3\cdot 2=6,
os dois lados coincidem, logo x=1 realmente é solução.

Resposta

x=1

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