- Encontre as soluções das equações abaixo.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções da equação
Informações dadas:
- A incógnita é
. - A equação envolve exponenciais com bases diferentes: base
em e base em .
O que se pede: - Determinar todos os valores de
que satisfazem a igualdade acima.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: tentar isolar a potência com a mesma base ou transformar a equação numa forma em que possamos comparar expoentes. Como
e
aparecem multiplicando constantes, uma estratégia simples é dividir ambos os lados da equação por
(que nunca é zero para
real), ficando:
Aqui foi usada a ideia básica de equivalência de equações: dividir os dois lados por um mesmo número (desde que não seja zero) preserva as soluções.
Passo 3
Usar a propriedade das potências
. Aplicando com
e
obtemos:
Essa propriedade vem da regra
, ou mais elementarmente de multiplicar
e
e simplificar termo a termo quando
é inteiro; a generalização para real usa logaritmos, mas a propriedade vale para todo
quando
.
Passo 4
Isolar
. Dividindo ambos os lados por
:
Agora observamos que o lado direito é exatamente a mesma base
elevada a
. Ou seja, temos
Passo 5
Usar a propriedade de injetividade da função exponencial de base positiva distinta de
: se
e
, então
implica
. No nosso caso
e
, logo igualando os expoentes obtemos
Passo 6
Alternativa via logaritmo (útil para problemas semelhantes): a partir de
, aplicar log natural em ambos os lados:
Como
, divide-se por esse número para obter
. Essa técnica (tomar logaritmo) é a forma padrão quando as bases não se tornam iguais imediatamente.
Passo 7
Verificação final: substituir
na equação original:
os dois lados coincidem, logo
realmente é solução.