1. Encontre as soluções das equações abaixo.
(b) 5^{2 x+1}=2^{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação dada. Dados fornecidos:
  • Equação: 5^{2x+1}=2^{x}.
    Pergunta: encontrar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade (procuramos x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Vamos usar propriedades de potências para reescrever o lado esquerdo de forma mais manejável. Lembrete das propriedades que usaremos:
  • Para quaisquer real a>0 e números reais u,v: a^{u+v}=a^{u}\cdot a^{v}.
  • Para quaisquer real a>0 e números reais u,v: (a^{u})^{v}=a^{uv}.
Aplicando a^{u+v}=a^{u}\cdot a^{v} a 5^{2x+1}:
5^{2x+1}=5^{1}\cdot 5^{2x}.
Agora use (5^{2})^{x}=5^{2x} para escrever 5^{2x} como 25^{x}. Assim:
5^{2x+1}=5\cdot 25^{x}.

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos
5\cdot 25^{x}=2^{x}.
Agora vamos isolar a potência com expoente x. Dividindo ambos os lados por 25^{x} (que é sempre positivo, então a operação é válida):
5=\frac{2^{x}}{25^{x}}=\left(\frac{2}{25}\right)^{x}.
Portanto a equação ficou na forma
\left(\frac{2}{25}\right)^{x}=5.

Passo 4

Para resolver uma equação do tipo a^{x}=b (com a>0, a\neq1, b>0) usamos logaritmos. Lembrete sobre logaritmos:
  • O logaritmo natural \ln é a função inversa da exponencial e^{t}.
  • Propriedade útil: \ln(a^{x})=x\ln a para a>0.
    Aplicando \ln em ambos os lados de \left(\dfrac{2}{25}\right)^{x}=5:
\ln\!\left(\left(\frac{2}{25}\right)^{x}\right)=\ln 5.
Pela propriedade dos logaritmos:
x\ln\!\left(\frac{2}{25}\right)=\ln 5.
Isolando x:
x=\frac{\ln 5}{\ln\!\left(\dfrac{2}{25}\right)}.
Também é possível escrever essa mesma solução em forma alternativa, manipulando os logaritmos:
x=-\frac{\ln 5}{2\ln 5-\ln 2},
ou, usando a propriedade \ln\!\left(\dfrac{2}{25}\right)=\ln 2-2\ln 5,
essas expressões são equivalentes.

Passo 5

Vamos calcular uma aproximação numérica para facilitar a intuição. Valores aproximados:
\ln 5\approx 1,6094379,\qquad \ln 2\approx 0,6931472.
Logo
\ln\!\left(\frac{2}{25}\right)=\ln 2-2\ln 5\approx 0,6931472-2\cdot 1,6094379\approx -2,5257286.
Portanto
x\approx\frac{1,6094379}{-2,5257286}\approx -0,63728.

Passo 6

Checagem rápida (sanidade): com x\approx-0,63728,
2^{x}=e^{x\ln 2}\approx e^{-0,44139}\approx 0,6429
e
5^{2x+1}=5^{2(-0,63728)+1}=5^{-0,27456}\approx e^{-0,44139}\approx 0,6429,
valores coincidentes dentro do arredondamento — a solução faz sentido.

Resposta

\displaystyle x=\frac{\ln 5}{\ln\!\left(\dfrac{2}{25}\right)}\approx -0,63728

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