- Encontre as soluções das equações abaixo.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções da equação
Informações dadas:
- A incógnita é
. - Os coeficientes e as bases das potências são números positivos (
e ), então podemos aplicar operações algébricas usuais e logaritmos sem problemas.
Passo 2
Primeiro vou simplificar o lado direito usando a propriedade de potências
. Essa propriedade diz que ao somar expoentes em uma potência com mesma base, multiplicamos por essa base:
Substituindo na equação original obtemos:
Passo 3
Agora simplifico o lado direito multiplicando os escalares:
Logo a equação fica
Passo 4
Divido ambos os lados por
(operações válidas porque
) para simplificar:
Agora divido ambos os lados por
(também é válido porque
para todo
):
Passo 5
Uso a propriedade de potências
. Aplicando aqui:
Para resolver uma equação do tipo
com
,
, uma forma padrão é aplicar logaritmo em ambos os lados. Vou usar o logaritmo natural
(qualquer base serviria, pois aplicando log em ambos os lados permite isolar
).
Passo 6
Tomando
em ambos os lados:
Usando a propriedade
, obtemos:
Isolando
:
Também é útil lembrar que
, então uma forma alternativa é
Passo 7
Se quiser um valor aproximado para checar na prova, calculando numericamente os logaritmos:
Uma checagem rápida (opcional): calcular
e
com esse
dá valores muito próximos, confirmando a solução.