1. Encontre as soluções das equações abaixo.
(c) 2 \cdot 3^{x}=3 \cdot 2^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação
2\cdot 3^{x} = 3\cdot 2^{x+1}.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Os coeficientes e as bases das potências são números positivos ( 2 e 3), então podemos aplicar operações algébricas usuais e logaritmos sem problemas.

Passo 2

Primeiro vou simplificar o lado direito usando a propriedade de potências \,2^{x+1}=2\cdot 2^{x}\,. Essa propriedade diz que ao somar expoentes em uma potência com mesma base, multiplicamos por essa base:
2^{x+1}=2\cdot 2^{x}.
Substituindo na equação original obtemos:
2\cdot 3^{x} = 3\cdot\bigl(2\cdot 2^{x}\bigr).

Passo 3

Agora simplifico o lado direito multiplicando os escalares:
3\cdot\bigl(2\cdot 2^{x}\bigr) = 6\cdot 2^{x}.
Logo a equação fica
2\cdot 3^{x} = 6\cdot 2^{x}.

Passo 4

Divido ambos os lados por 2 (operações válidas porque 2\neq0) para simplificar:
3^{x} = 3\cdot 2^{x}.
Agora divido ambos os lados por 2^{x} (também é válido porque 2^{x}>0 para todo x):
\frac{3^{x}}{2^{x}} = 3.

Passo 5

Uso a propriedade de potências \dfrac{a^{x}}{b^{x}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{x}. Aplicando aqui:
\left(\frac{3}{2}\right)^{x} = 3.
Para resolver uma equação do tipo \,A^{x}=B com A>0, A\neq1, uma forma padrão é aplicar logaritmo em ambos os lados. Vou usar o logaritmo natural \ln (qualquer base serviria, pois aplicando log em ambos os lados permite isolar x).

Passo 6

Tomando \ln em ambos os lados:
\ln\!\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right) = \ln 3.
Usando a propriedade \ln(a^{x})=x\ln a, obtemos:
x\ln\!\left(\frac{3}{2}\right) = \ln 3.
Isolando x:
x = \frac{\ln 3}{\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)}.
Também é útil lembrar que \ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=\ln 3 - \ln 2, então uma forma alternativa é
x = \frac{\ln 3}{\ln 3 - \ln 2}.

Passo 7

Se quiser um valor aproximado para checar na prova, calculando numericamente os logaritmos:
\ln 3 \approx 1,098612289,\qquad \ln 2 \approx 0,693147181,
\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)=\ln 3 - \ln 2 \approx 0,405465108,
x \approx \frac{1,098612289}{0,405465108} \approx 2,708.
Uma checagem rápida (opcional): calcular 2\cdot 3^{x} e 3\cdot 2^{x+1} com esse x dá valores muito próximos, confirmando a solução.

Resposta

x = \frac{\ln 3}{\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)}
x \approx 2,708

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