1. Sem o uso de calculadora, encontre o valor dos logaritmos abaixo.
(j) \log _{125} \frac{1}{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \log_{125}\!\left(\dfrac{1}{5}\right).
Informações dadas:
  • a base do logaritmo é 125;
  • o argumento do logaritmo é \dfrac{1}{5}.

Passo 2

Lembrete: por definição de logaritmo, para a>0, a\neq1, e b>0,
\log_a b = c \quad\Longleftrightarrow\quad a^{c}=b.
Aqui vamos aplicar essa definição: se x=\log_{125}\!\left(\dfrac{1}{5}\right) então 125^{x}=\dfrac{1}{5}.

Passo 3

Uma técnica muito útil é escrever tanto a base quanto o argumento como potências de um mesmo número. Observação de potências conhecidas:
125 = 5^{3}, \qquad \dfrac{1}{5} = 5^{-1}.
Esses valores vêm do fato que 5^{3}=125 e 5^{-1}=\dfrac{1}{5}.

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação 125^{x}=\dfrac{1}{5} obtemos:
(5^{3})^{x} = 5^{-1}.

Passo 5

Usando a propriedade de potências (a^{m})^{n}=a^{mn}, a equação fica
5^{3x}=5^{-1}.
Como a função exponencial de base 5 é injetora (dois potes com a mesma base iguais implicam expoentes iguais), igualamos os expoentes:
3x = -1.
Assim
x = -\dfrac{1}{3}.

Passo 6

(Fórmula alternativa rápida) Também se podia usar mudança de base com logaritmo na base 5:
\log_{125}\!\left(\dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{\log_{5}\!\left(\dfrac{1}{5}\right)}{\log_{5}(125)} = \dfrac{-1}{3}.
Isso confirma o resultado obtido antes.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

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