Encontre as soluções das equações diferencias ordinárias (ou a única solução dos problemas).
y^{\prime}=x y^{3}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}, y(0)=1.

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y' = x\,y^{3}\,(1+x^{2})^{-\tfrac12},\quad y(0)=1.
Este é um caso típico de equação diferencial de primeira ordem que admite separação de variáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis y e x escrevendo
\frac{dy}{dx} = x\,y^{3}\,(1+x^{2})^{-\tfrac12} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{3}} = x\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. De um lado,
\int y^{-3}\,dy = \int \frac{1}{y^{3}}\,dy = -\frac{1}{2\,y^{2}} + C_{1}.
Do outro lado, seja u=1+x^{2}, du=2x\,dx, então
\int x\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}\,dx = \frac12\int u^{-\tfrac12}\,du = \sqrt{u} + C_{2} = \sqrt{1+x^{2}} + C_{2}.
Igualando as integrais (absorvendo C=C_{2}-C_{1}) obtemos
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1. Para x=0 a relação fica
-\frac{1}{2\cdot1^{2}} = \sqrt{1+0} + C \quad\Longrightarrow\quad -\frac12 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac32.
Substituindo de volta,
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} - \frac32.

Passo 5

Isolamos y. Multiplicando por -2 segue
\frac{1}{y^{2}} = 3 - 2\,\sqrt{1+x^{2}}.
Logo
y^{2} = \frac{1}{3 - 2\,\sqrt{1+x^{2}}} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{\sqrt{3 - 2\,\sqrt{1+x^{2}}}}.
Como y(0)=1>0, tomamos o sinal positivo. Note que a solução é válida enquanto o denominador for positivo, i.e.\ 3>2\sqrt{1+x^{2}}, ou seja |x|<\sqrt{5}/2.

Resposta

y(x) = \frac{1}{\sqrt{3 - 2\,\sqrt{1+x^{2}}}},\quad |x|<\frac{\sqrt{5}}{2}.

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