Resolva os problemas abaixo:
Um tanque no instante t_{0}=0, contém 60 kg de sal dissolvido em 200 litros de água. A cada minuto entra nesse tanque 21 de uma solução composta por sal e água, sendo que essa solução contém 200 g de sal por litro. A cada minuto também sai desse tanque 21 de uma solução homogênea. Qual o tempo necessário para que a quantidade de sal no tanque seja de 50 kg ? A quantidade de sal tende a qual valor, quando deixarmos esse processo acontecer por um período de tempo muito grande?

Passo 1

O enunciado trata de um tanque de volume constante V=200 L que, no instante inicial t=0, contém 60 kg de sal. Entra e sai do tanque solução à vazão de 21 L/min; a solução de entrada tem concentração de 200 g/L = 0{,}2 kg/L. Queremos (a) o tempo necessário para a massa de sal chegar a 50 kg e (b) o valor limite de massa de sal quando t\to\infty. O conteúdo envolvido é modelagem por equação diferencial linear de misturas.

Passo 2

Chamando S(t) a massa de sal (em kg) no instante t (em min), a taxa de variação é
\frac{dS}{dt} = \underbrace{c_{\text{in}}\cdot r_{\text{in}}}_{\text{taxa de entrada}} - \underbrace{\frac{S(t)}{V}\cdot r_{\text{out}}}_{\text{taxa de saída}} =0{,}2\cdot21 - \frac{S(t)}{200}\cdot21 =4{,}2 -0{,}105\,S(t).í

Passo 3

A equação diferencial
\frac{dS}{dt}+0{,}105\,S=4{,}2
é linear com coeficiente constante. O estado estacionário é
S_{\infty}=\frac{4{,}2}{0{,}105}=40.
A solução geral é
S(t)=40 + C e^{-0{,}105\,t}.
Como S(0)=60, temos 60=40+C, logo C=20. Portanto
S(t)=40 + 20\,e^{-0{,}105\,t}.

Passo 4

Para achar t tal que S(t)=50, fazemos
50=40+20\,e^{-0{,}105\,t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-0{,}105\,t}=\frac{10}{20}=0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad -0{,}105\,t=\ln(0{,}5)=-\ln2
\implies t=\frac{\ln2}{0{,}105}=\frac{200\,\ln2}{21}\approx6{,}60\text{ min}.

Passo 5

O limite quando t\to\infty é o estado estacionário da mistura, ou seja
\lim_{t\to\infty}S(t)=40\text{ kg}.

Resposta

O tempo necessário é \displaystyle \frac{200\ln2}{21}\approx6{,}60 minutos.
A quantidade de sal tende a 40 kg quando o processo ocorre por tempo muito grande.

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