Encontre as soluções gerais das equações de Euler - Cauchy nos problemas seguintes.
x^3 y^(3)+3 x^2 y^prime prime+2 x y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy de terceira ordem
x^3y^(3) + 3x^2y'' + 2x y' = 0,
ou seja, achar a solução geral y(x) no domínio x>0. Para isso vamos usar o método de tentar uma solução do tipo y=x^m, que transforma a EDO numa equação algébrica em m.

Passo 2

Assumimos
y = x^m
Então
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2, y^(3) = m(m-1)(m-2),x^m-3

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação original:
x^3l[m(m-1)(m-2)x^m-3r] +3x^2l[m(m-1)x^m-2r] +2xl[m,x^m-1r]=0
Fatorando x^m (que para x>0 nunca é zero), sobra só um polinômio em m.

Passo 4

O termo em x^m é
m(m-1)(m-2) + 3m(m-1) + 2m = 0
Vamos rearranjar:
ml[(m-1)(m-2) + 3(m-1) + 2r] = 0
Expandindo
(m-1)(m-2) = m^2 -3m +2, 3(m-1)=3m -3,
logo dentro do colchete temos m^2 -3m +2 +3m -3 +2 = m^2 +1. Portanto a equação característica fica
m,(m^2 +1) = 0

Passo 5

As raízes de
m,(m^2+1)=0
são
m1=0, m2=i, m3=-i

Passo 6

Para raízes reais e complexas conjugadas de uma Euler–Cauchy, a solução geral é
y(x) = C1,x^m1 + C2,x^Re(m2)cosl(Im(m2)ln xr) + C3,x^Re(m2)sinl(Im(m2)ln xr)
Aqui Re(m2)=0 e Im(m2)=1, e x^0=1. Portanto
y(x) = C1 + C2cosl(ln xr) + C3sinl(ln xr)

Resposta

y(x) = C1 + C2cos!l(ln xr) + C3sin!l(ln xr),
para constantes arbitrárias C1,C2,C3.

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