Encontre as soluções gerais das equações de Euler - Cauchy nos problemas seguintes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy de terceira ordem
ou seja, achar a solução geral
no domínio
. Para isso vamos usar o método de tentar uma solução do tipo
, que transforma a EDO numa equação algébrica em
.
Passo 2
Assumimos
Então
Passo 3
Substituímos essas expressões na equação original:
Fatorando
(que para
nunca é zero), sobra só um polinômio em
.
Passo 4
O termo em
é
Vamos rearranjar:
Expandindo
logo dentro do colchete temos
. Portanto a equação característica fica
Passo 5
As raízes de
são
Passo 6
Para raízes reais e complexas conjugadas de uma Euler–Cauchy, a solução geral é
Aqui
e
, e
. Portanto
Resposta
para constantes arbitrárias
.