1. Determine os pontos críticos de f(x, y)=y^2+x y+3 y+2 x+3, e descubra se não máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=y^2+x y+3y+2x+3 e classificá-los (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Para isso, vamos usar derivadas parciais para encontrar nabla f=0 e depois a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = y + 2, partial fpartial y = 2y + x + 3

Passo 3

Impondo nabla f=0:
y + 2 = 0 Longrightarrow y = -2,
2y + x + 3 = 0 Longrightarrow 2(-2) + x + 3 = 0 ;Longrightarrow; x -1 =0 ;Longrightarrow; x = 1
Logo há um único ponto crítico em (1,-2).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana de f. Calculamos as segundas derivadas:
fxx = 0, fxy = fyx = 1, fyy = 2
Em bloco:
H = fxx & fxy fyx & fyy = 0 & 1 1 & 2

Passo 5

Para classificar, calculamos o determinante da Hessiana em (1,-2):
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = 0cdot2 - 1^2 = -1 < 0
Como D<0, a Hessiana é indefinida e o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (1,-2) e ele é um ponto de sela.

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