Determine os pontos críticos de , e descubra se não máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de e classificá-los (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Para isso, vamos usar derivadas parciais para encontrar e depois a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Passo 3
Impondo :
Logo há um único ponto crítico em .
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana de . Calculamos as segundas derivadas:
Em bloco:
Passo 5
Para classificar, calculamos o determinante da Hessiana em (1,-2):
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = 0cdot2 - 1^2 = -1 < 0
Como D<0, a Hessiana é indefinida e o ponto é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (1,-2) e ele é um ponto de sela.