Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
y^prime prime+9 y=x^2 e^3 x+6

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
y'' + 9y = x^2 e^3x + 6
O conteúdo é EDO linear e vamos usar o método de coeficientes indeterminados, que exige encontrar a solução geral da homogênea e adicionar uma solução particular para cada termo da parte não homogênea.

Passo 2

A equação homogênea associada é:
y'' + 9y = 0
A equação característica é:
r^2 + 9 = 0
com raízes r = pm 3i. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x)

Passo 3

Pela superposição, a solução geral será
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yp é a soma de uma particular para o termo constante 6 e de outra para o termo x^2 e^3x.

Passo 4

Para o termo constante 6 suponha uma solução particular constante yp2 = A. Substituindo em y'' + 9y = 6 resulta
0 + 9A = 6
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A = tfrac69 = tfrac23
Assim yp2 = tfrac23

Passo 5

Para o termo x^2 e^3x use o método de coeficientes indeterminados. Tome
yp1(x) = e^3x(a x^2 + b x + c)
Calcule
yp1'' + 9yp1 = e^3xl(u'' + 6u' + 18ur),
onde u(x)=a x^2 + bx + c. Com u' = 2ax + b e u'' = 2a, obtém-se
u'' + 6u' + 18u = 18a x^2 + (12a +18b)x + (2a +6b+18c)
Igualando a x^2 exige
18a = 1, 12a+18b=0, 2a+6b+18c=0,
o que dá
a = tfrac118, b = -tfrac127, c = tfrac1162
Portanto
yp1(x) = e^3xl(tfracx^218 - tfracx27 + tfrac1162r)

Passo 6

Em síntese, a solução geral é obtida pelo princípio da superposição somando yh(x), yp1(x) e yp2.

Resposta

y(x)=C1cos(3x)+C2sin(3x)+e^3xl(tfracx^218-tfracx27+tfrac1162r)+tfrac23

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