Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
Passo 1
Temos a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
O conteúdo é EDO linear e vamos usar o método de coeficientes indeterminados, que exige encontrar a solução geral da homogênea e adicionar uma solução particular para cada termo da parte não homogênea.
Passo 2
A equação homogênea associada é:
A equação característica é:
com raízes
. Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Pela superposição, a solução geral será
onde
é a soma de uma particular para o termo constante
e de outra para o termo
.
Passo 4
Para o termo constante
suponha uma solução particular constante
. Substituindo em
resulta
logo
Assim
Passo 5
Para o termo
use o método de coeficientes indeterminados. Tome
Calcule
onde
. Com
e
, obtém-se
Igualando a
exige
o que dá
Portanto
Passo 6
Em síntese, a solução geral é obtida pelo princípio da superposição somando
,
e
.