Resolva as equações abaixo.
x y^prime prime+(x+2) y^prime+y=e^-x, sendo y1=1x

Passo 1

A equação dada é
x y''+(x+2)y'+y=e^-x,
uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. O conteúdo que vamos usar é: (i) redução de ordem para achar uma segunda solução do homogêneo a partir de y1=1/x, e (ii) variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y= race^-xx,
com
P(x)= racx+2x,
Q(x)= rac1x
Usaremos redução de ordem para achar y2.

Passo 3

Na redução de ordem, calculamos
,integral P(x)dx=,integral igl(1+ frac2xr)dx=x+2ln x 
Então
,e^-integral Pdx=e^-x-2ln x=e^-xx^-2
A fórmula de redução de ordem dá
y2=y1integral race^-integral Pdxy1^2dx=1xintegral race^-xx^-2(1/x)^2dx=1xintegral e^-xdx=e^-xx i! +constante,
portanto escolhemos y2=e^-x/x.

Passo 4

A solução geral do homogêneo é
yh=C11x+C2e^-xx

Passo 5

Agora aplicamos variação de parâmetros para achar uma particular. Calculamos o Wronskiano
W=y1&y2y1'&y2' =1xl(-e^-xx+1x^2r)-l(-1x^2r)e^-xx =-e^-xx^2
Definimos
u1'=-f(x)y2W,
u2'= racf(x)y1W,
onde f(x)=e^-x/x.

Passo 6

Substituindo:
u1'=-(e^-x/x)(e^-x/x)-e^-x/x^2=e^-x,
u2'=-1
Integrando, obtemos
u1=-e^-x,
u2=-x

Passo 7

A solução particular é
yp=nu1y1+nu2y2=-e^-x1x -xe^-xx=-e^-xl(1+1xr)
Logo a solução geral da EDO é
y(x)=C1x+C2e^-xx-e^-xl(1+1xr)

Resposta

y(x)=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2e{-x}}{x}-e{-x}\Bigl(1+\frac1x\Bigr)

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