Encontre as soluções gerais, assumindo x>0 e c1, c2 constantes.
x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0

Passo 1

Vamos analisar a equação diferencial de Euler–Cauchy x^2y'' + xy' + y = 0. Como é uma equação homogênea com coeficientes variáveis do tipo de Euler, vamos usar a técnica de tentar uma solução do estilo y = x^r.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y = x^r:
y' = r x^r-1,
y'' = r(r-1)x^r-2
Substituindo na equação original e dividindo por x^r, obtemos a equação característica:
x^2igl(r(r-1)x^r-2r) + xigl(r x^r-1r) + x^r = 0 
r(r-1) + r + 1 = 0

Passo 3

Simplificando a equação característica, chega-se a:
r^2 + 1 = 0,
cuja solução é
r = i e r = -i
Portanto, a solução geral em termos de potências complexas é
y = c1 x^i + c2 x^-i

Passo 4

Usando a fórmula de Euler x^i = e^iln x = cos(ln x) + i sin(ln x) e seu conjugado para x^-i, obtemos a forma real da solução:
y(x) = A cos(ln x) + B sin(ln x)
Renomeando as constantes reais A,B como c1,c2, fica:

Passo 5

Resposta

y(x) = c_{1} \cos(\ln x) + c_{2} \sin(\ln x)

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