Encontre as soluções gerais, assumindo
e
constantes.
Passo 1
Vamos analisar a equação diferencial de Euler–Cauchy
. Como é uma equação homogênea com coeficientes variáveis do tipo de Euler, vamos usar a técnica de tentar uma solução do estilo
.
Passo 2
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original e dividindo por
, obtemos a equação característica:
Passo 3
Simplificando a equação característica, chega-se a:
cuja solução é
Portanto, a solução geral em termos de potências complexas é
Passo 4
Usando a fórmula de Euler
e seu conjugado para
, obtemos a forma real da solução:
Renomeando as constantes reais
como
, fica:
Passo 5
Resposta
y(x) = c_{1} \cos(\ln x) + c_{2} \sin(\ln x)