Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
(1,0 \mathrm{pt}) y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+20 y=0.

Passo 1

Temos uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes:
y'' - 9y' + 20y = 0.
Para resolver, vamos usar o ansatz y = e^{rx}, que transforma a EDO numa equação algébrica para r.

Passo 2

Substituindo y = e^{rx} na equação, obtemos
r^2 e^{rx} - 9r e^{rx} + 20\,e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq0, a equação característica é
r^2 - 9r + 20 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2 - 9r + 20 = 0
usamos soma e produto de raízes ou fórmula de Bhaskara. Observamos que
r^2 - 9r + 20 = (r - 5)(r - 4),
logo as raízes são r_1 = 5 e r_2 = 4.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
ou seja,
y(x) = C_1 e^{5x} + C_2 e^{4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_1 e^{5x} + C_2 e^{4x}.

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