Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
.
Passo 1
Temos uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes:
Para resolver, vamos usar o ansatz
, que transforma a EDO numa equação algébrica para
.
Passo 2
Substituindo
na equação, obtemos
Como
, a equação característica é
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usamos soma e produto de raízes ou fórmula de Bhaskara. Observamos que
logo as raízes são
e
.
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da EDO é
ou seja,
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.