Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
(1,0 \mathrm{pt}) y^{\prime \prime}+y\left(y^{\prime}\right)^{3}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y'' + y\,(y')^3 = 0
Esta é uma EDO autônoma (não aparece x explicitamente). Vamos usar a troca de variável p = y' para reduzir a ordem.

Passo 2

Com p = \dfrac{dy}{dx}, temos
y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\,\frac{dy}{dx} = p\,\frac{dp}{dy}.
Substituindo em y'' + y\,(y')^3=0
p\,\frac{dp}{dy} + y\,p^3 = 0.

Passo 3

Como p\neq0 em geral, dividimos por p e obtemos uma EDO de primeira ordem em p(y):
\frac{dp}{dy} + y\,p^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{p^2} = -\,y\,dy.

Passo 4

Integramos em ambos os lados:
\int \frac{dp}{p^2} = \int -y\,dy \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{p} = -\frac{y^2}{2} + C_1.
Rearranjando,
\frac{1}{p} = \frac{y^2}{2} + C,
onde C=-C_1. Logo
p = y' = \frac{2}{y^2 + A},
com A=2C.

Passo 5

Agora separamos variáveis de novo:
(y^2 + A)\,dy = 2\,dx.
Integrando,
\int (y^2 + A)\,dy = \int 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^3}{3} + A\,y = 2x + C_2.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
\frac{y^3}{3} + A\,y = 2x + B,
onde A e B são constantes arbitrárias.

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