Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
y^{\prime} \tan x=y ; y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
y'\tan x = y
e
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}.
Informações relevantes fornecidas: o valor inicial está em x=\frac{\pi}{2}; observe que \tan x é indefinida quando \cos x=0, isto é, em x=\frac{\pi}{2}+k\pi. A condição inicial tem y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\neq 0, portanto buscamos uma solução que passe por esse ponto (não é a solução trivial y\equiv 0).

Passo 2

Vamos manipular a equação para colocá‑la numa forma que permita separar variáveis. Começamos por multiplicar ambos os lados por \cos x (isso evita dividir por \tan x diretamente) e obtemos:
y'\sin x = y\cos x.
Agora, para isolar y', dividimos por \sin x (válido porque \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\neq 0 e estamos interessados numa vizinhança de x=\frac{\pi}{2}):
y' = y\frac{\cos x}{\sin x}.
Reconhecemos a razão \frac{\cos x}{\sin x} como \cot x, então a equação fica
y' = y\cot x.

Passo 3

Agora usamos separação de variáveis. Escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx} e separamos as variáveis y e x:
\frac{1}{y}\,dy = \cot x\,dx.
Esta forma nos permite integrar os dois lados em relação às suas variáveis.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Para integrar o lado direito, note que \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Faça a substituição u=\sin x, então du=\cos x\,dx e
\int \cot x\,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|\sin x| + C.
No lado esquerdo temos \int \dfrac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C. Assim, integrando ambos os lados obtemos
\ln|y| = \ln|\sin x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Exponentiando ambos os lados para eliminar os logaritmos, obtemos
|y| = e^{C}|\sin x|.
Chamando e^{C}=C_1>0 (constante positiva arbitrária), temos |y|=C_1|\sin x|. Isso implica que a solução geral pode ser escrita sem o valor absoluto como
y = C\sin x,
onde C é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero) que reúne o sinal e C_1.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial \;y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}. Substituindo na solução geral:
\frac{\pi}{2} = y\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = C\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = C\cdot 1,
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C=\frac{\pi}{2}.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{\pi}{2}\sin x.

Passo 7

Verificação rápida: calculamos y'(x)=\frac{\pi}{2}\cos x. Então
y'(x)\tan x = \frac{\pi}{2}\cos x\cdot \tan x = \frac{\pi}{2}\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\pi}{2}\sin x = y(x),
ou seja, a solução satisfaz a equação diferencial em todos os pontos em que \tan x está definida. A função encontrada é diferenciável inclusive em x=\frac{\pi}{2} e respeita a condição inicial.

Resposta

y(x)=\dfrac{\pi}{2}\sin x

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