Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
e
Informações relevantes fornecidas: o valor inicial está em
; observe que
é indefinida quando
, isto é, em
. A condição inicial tem
, portanto buscamos uma solução que passe por esse ponto (não é a solução trivial
).
Passo 2
Vamos manipular a equação para colocá‑la numa forma que permita separar variáveis. Começamos por multiplicar ambos os lados por
(isso evita dividir por
diretamente) e obtemos:
Agora, para isolar
, dividimos por
(válido porque
e estamos interessados numa vizinhança de
):
Reconhecemos a razão
como
, então a equação fica
Passo 3
Agora usamos separação de variáveis. Escrevemos
e separamos as variáveis
e
:
Esta forma nos permite integrar os dois lados em relação às suas variáveis.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Para integrar o lado direito, note que
. Faça a substituição
, então
e
No lado esquerdo temos
. Assim, integrando ambos os lados obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 5
Exponentiando ambos os lados para eliminar os logaritmos, obtemos
Chamando
(constante positiva arbitrária), temos
. Isso implica que a solução geral pode ser escrita sem o valor absoluto como
onde
é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero) que reúne o sinal e
.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo na solução geral:
logo
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida: calculamos
. Então
ou seja, a solução satisfaz a equação diferencial em todos os pontos em que
está definida. A função encontrada é diferenciável inclusive em
e respeita a condição inicial.