Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
\frac{d y}{d x}=3 x^{2}\left(y^{2}+1\right) ; y(0)=1

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
\frac{dy}{dx}=3x^{2}\bigl(y^{2}+1\bigr),\qquad y(0)=1.
O que o problema pede: encontrar a solução particular explícita y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.

Passo 2

Observando a equação, podemos separar as variáveis x e y (isto é, colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro). Para separar, dividimos ambos os lados por \bigl(y^{2}+1\bigr) e multiplicamos por dx. Isso é permitido sempre que \bigl(y^{2}+1\bigr)\neq 0, o que aqui é sempre verdadeiro porque y^{2}+1>0 para todo y. Fazendo a separação obtemos:
\frac{dy}{y^{2}+1}=3x^{2}\,dx.
Explicação da operação: escrevemos a diferencial \frac{dy}{dx} e rearranjamos como \frac{1}{y^{2}+1}\,dy = 3x^{2}\,dx. Essa forma permite integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Agora integrarmos ambos os lados. Precisamos lembrar a primitiva de \dfrac{1}{1+y^{2}}: a derivada de \arctan(y) é \dfrac{1}{1+y^{2}}. Portanto,
\int \frac{dy}{y^{2}+1}=\arctan(y)+C_{1}.
Do lado direito, a primitiva de 3x^{2} é x^{3}, pois \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}. Assim,
\int 3x^{2}\,dx = x^{3}+C_{2}.
Combinando as constantes de integração em uma só constante C (podemos subtrair C_{2} de ambos os lados e chamar o resultado de C), obtemos a relação implícita
\arctan(y)=x^{3}+C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 na equação implícita,
\arctan(1)=0^{3}+C.
Sabemos que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}. Logo
C=\frac{\pi}{4}.
Portanto a solução implícita particular é
\arctan(y)=x^{3}+\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Resolver para y explicitamente: aplicamos a tangente nos dois lados (tangente é a função inversa de \arctan onde definida):
y=\tan\!\left(x^{3}+\frac{\pi}{4}\right).
Aqui estou usando a relação \tan(\arctan(u))=u. Assim obtemos a solução explícita.

Passo 6

Verificação rápida (para você se sentir seguro): derivando y(x)=\tan\!\left(x^{3}+\frac{\pi}{4}\right),
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^{2}\!\left(x^{3}+\frac{\pi}{4}\right)\cdot 3x^{2}.
Mas \operatorname{sec}^{2}(z)=1+\tan^{2}(z), então substituindo \tan\!\left(x^{3}+\frac{\pi}{4}\right)=y obtemos
\frac{dy}{dx}=3x^{2}\bigl(1+y^{2}\bigr),
que coincide com a equação dada. A condição inicial também é satisfeita porque y(0)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.

Passo 7

Discussão sobre o domínio: \tan tem singularidades quando o argumento é \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Assim pontos onde a solução explode ocorrem quando
x^{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=\frac{\pi}{4}+k\pi.
Os primeiros valores que limitam o intervalo de existência contendo 0 são (quando k=0) x=(\pi/4)^{1/3}\approx 0{,}923 e (quando k=-1) x=-\bigl(3\pi/4\bigr)^{1/3}\approx -1{,}331. Portanto a solução particular que encontramos é válida, pelo menos, no intervalo aberto aproximado (-1{,}331,\,0{,}923) que contém 0.

Resposta

y(x)=\tan\!\left(x^{3}+\frac{\pi}{4}\right).

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