Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:
O que o problema pede: encontrar a solução particular explícita
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.
Passo 2
Observando a equação, podemos separar as variáveis
e
(isto é, colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro). Para separar, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
. Isso é permitido sempre que
, o que aqui é sempre verdadeiro porque
para todo
. Fazendo a separação obtemos:
Explicação da operação: escrevemos a diferencial
e rearranjamos como
. Essa forma permite integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 3
Agora integrarmos ambos os lados. Precisamos lembrar a primitiva de
: a derivada de
é
. Portanto,
Do lado direito, a primitiva de
é
, pois
. Assim,
Combinando as constantes de integração em uma só constante
(podemos subtrair
de ambos os lados e chamar o resultado de
), obtemos a relação implícita
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na equação implícita,
Sabemos que
. Logo
Portanto a solução implícita particular é
Passo 5
Resolver para
explicitamente: aplicamos a tangente nos dois lados (tangente é a função inversa de
onde definida):
Aqui estou usando a relação
. Assim obtemos a solução explícita.
Passo 6
Verificação rápida (para você se sentir seguro): derivando
,
Mas
, então substituindo
obtemos
que coincide com a equação dada. A condição inicial também é satisfeita porque
.
Passo 7
Discussão sobre o domínio:
tem singularidades quando o argumento é
,
. Assim pontos onde a solução explode ocorrem quando
Os primeiros valores que limitam o intervalo de existência contendo
são (quando
)
e (quando
)
. Portanto a solução particular que encontramos é válida, pelo menos, no intervalo aberto aproximado
que contém
.