Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
2 y d yd x=x(x^2-16)^-1 / 2 ; y(5)=2

Passo 1

Temos o problema de valor inicial 2y,dydx=x(x^2-16)^-1/2 com y(5)=2. O conteúdo é equação diferencial separável, e vamos precisar separar variáveis e integrar.

Passo 2

Separe variáveis escrevendo 2y,dy=xraizx^2-16,dx.
Integre ambos os lados: integral 2y,dy=y^2 e integralxraizx^2-16,dx=raizx^2-16+C usando a substituição u=x^2-16.
Igualando as integrais obtemos a solução geral y^2=raizx^2-16+C.

Passo 3

Aplique a condição inicial y(5)=2: 4=raiz25-16+C=3+C implica C=1.
Logo y^2=raizx^2-16+1 e, como y(5)=2>0, escolhemos o ramo positivo.
Portanto a solução particular explícita é dada por y(x)=raiz1+raizx^2-16.

Resposta

y(x)=raiz1+raizx^2-16

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