Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
e a condição inicial
.
A pergunta é: encontre a solução particular explícita que satisfaz essa condição inicial.
Dados relevantes: aparece multiplicando
(logo
é ponto singular da equação) e a condição inicial está em
(no domínio
).
A pergunta é: encontre a solução particular explícita que satisfaz essa condição inicial.
Dados relevantes:
Passo 2
Vamos isolar
. Somando
e dividindo por
obtemos
Aqui observei que simplifiquei o lado direito fatorando
: o numerador veio de
. Também note que a divisão por
exige
; como a condição inicial está em
, trabalharemos no intervalo onde
.
Passo 3
A equação agora tem a forma que permite separação de variáveis: separar termos em
de termos em
. Escrevo
A ideia da separação é integrar ambos os lados em
: o lado esquerdo será integral em
através da substituição
e o direito um integral em
. Em termos práticos, escrevo
pois
. Esta quebra é útil porque
e
têm primitivas simples.
Passo 4
Agora integro ambos os lados. Integro o lado esquerdo em
e o direito em
:
As integrais conhecidas são
,
e
. Portanto, combinando constantes:
onde
é uma constante arbitrária real (uniu-se
em uma só).
Passo 5
Agora exponencio ambos os lados para isolar
. Fazendo
em ambos os lados,
Posso escrever
como uma constante positiva
, obtendo
. Removendo o valor absoluto e permitindo constante real
(podendo ser negativa) obtenho a família geral de soluções
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 6
Agora aplico a condição inicial
. Substituo
e
na solução geral:
Logo
Passo 7
Substituindo
na expressão geral obtenho a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Essa solução é válida para
; em particular é válida e contínua no entorno de
, que é o que importa para o problema inicial.
Passo 8
Breve verificação (pra ganhar confiança): calculemos
para
.
Multiplicando por
e subtraindo
obtemos
o que confirma que a solução satisfaz a equação diferencial.