Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
x \frac{d y}{d x}-y=2 x^{2} y ; y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
x\frac{dy}{dx}-y=2x^{2}y,
e a condição inicial \,y(1)=1.
A pergunta é: encontre a solução particular explícita que satisfaz essa condição inicial.
Dados relevantes: x aparece multiplicando \frac{dy}{dx} (logo x=0 é ponto singular da equação) e a condição inicial está em x=1 (no domínio x\neq0).

Passo 2

Vamos isolar \frac{dy}{dx}. Somando y e dividindo por x obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1+2x^{2}}{x}\,y.
Aqui observei que simplifiquei o lado direito fatorando y: o numerador veio de y+2x^{2}y=y(1+2x^{2}). Também note que a divisão por x exige x\neq0; como a condição inicial está em x=1, trabalharemos no intervalo onde x>0.

Passo 3

A equação agora tem a forma que permite separação de variáveis: separar termos em y de termos em x. Escrevo
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1+2x^{2}}{x}.
A ideia da separação é integrar ambos os lados em x: o lado esquerdo será integral em y através da substituição dy e o direito um integral em x. Em termos práticos, escrevo
\frac{1}{y}\,dy=\left(\frac{1}{x}+2x\right)\,dx,
pois \frac{1+2x^{2}}{x}=\frac{1}{x}+2x. Esta quebra é útil porque \frac{1}{x} e 2x têm primitivas simples.

Passo 4

Agora integro ambos os lados. Integro o lado esquerdo em y e o direito em x:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int\left(\frac{1}{x}+2x\right)\,dx.
As integrais conhecidas são \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C_1, \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C_2 e \int 2x\,dx=x^{2}+C_3. Portanto, combinando constantes:
\ln|y|=\ln|x|+x^{2}+C,
onde C é uma constante arbitrária real (uniu-se C_1,C_2,C_3 em uma só).

Passo 5

Agora exponencio ambos os lados para isolar y. Fazendo e^{(\cdot)} em ambos os lados,
|y|=e^{\ln|x|+x^{2}+C}=e^{C}\,|x|\,e^{x^{2}}.
Posso escrever e^{C} como uma constante positiva A>0, obtendo |y|=A|x|e^{x^{2}}. Removendo o valor absoluto e permitindo constante real C_1 (podendo ser negativa) obtenho a família geral de soluções
y=C_{1}\,x\,e^{x^{2}},
onde C_{1} é uma constante real arbitrária.

Passo 6

Agora aplico a condição inicial \,y(1)=1. Substituo x=1 e y=1 na solução geral:
1 = C_{1}\cdot 1 \cdot e^{1^{2}} = C_{1}\,e^{1}.
Logo
C_{1}=e^{-1}.

Passo 7

Substituindo C_{1} na expressão geral obtenho a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=e^{-1}\,x\,e^{x^{2}}=x\,e^{x^{2}-1}.
Essa solução é válida para x\neq0; em particular é válida e contínua no entorno de x=1, que é o que importa para o problema inicial.

Passo 8

Breve verificação (pra ganhar confiança): calculemos \frac{dy}{dx} para y(x)=x e^{x^{2}-1}.
\frac{dy}{dx}=e^{x^{2}-1}+x\cdot 2x\,e^{x^{2}-1}=(1+2x^{2})e^{x^{2}-1}.
Multiplicando por x e subtraindo y obtemos
x\frac{dy}{dx}-y=x(1+2x^{2})e^{x^{2}-1}-x e^{x^{2}-1}=2x^{2}\cdot x e^{x^{2}-1}=2x^{2}y,
o que confirma que a solução satisfaz a equação diferencial.

Resposta

y(x)=x\,e^{x^{2}-1}

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