A intensidade
de luz a uma profundidade de
metros abaixo da superfície de um lago satisfaz a equação diferencial dIIdx
. (a) A que profundidade a intensidade é metade da intensidade
na superfície (onde
)? (b) Qual a intensidade a uma profundidade de 10 m (como fração de
)? (c) A que profundidade será a intensidade
daquela na superficie?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial para a intensidade de luz
em função da profundidade
:
As perguntas são:
- (a) A que profundidade
a intensidade é metade da intensidade na superfície (onde )? - (b) Qual a intensidade a uma profundidade de
m, expressa como fração de ? - (c) A que profundidade será a intensidade igual a
daquela na superfície?
Informações relevantes dadas:
- A equação diferencial
. (O coeficiente significa .) - Condição natural na superfície:
.
Passo 2
Resolveremos a equação diferencial e encontraremos
. Vou explicar passo a passo, como você faria na prova.
A equação é do tipo em que a derivada de
é proporcional a
. Podemos usar separação de variáveis: colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Começamos escrevendo
Separe as variáveis dividindo por
(assumindo
) e multiplicando por
:
Agora integramos os dois lados. Explico: integrar
dá
porque a derivada do
é
. E integrar uma constante em
dá a constante vezes
.
onde
é a constante de integração. Agora, para remover o logaritmo, aplicamos a exponencial em ambos os lados. Lembre que
e
. Assim:
Podemos escrever
como uma nova constante positiva
. Como intensidade é positiva, podemos tirar o valor absoluto e escrever simplesmente:
Agora usamos a condição na superfície
para achar
. Substituindo
:
Logo, a solução particular é
Pronto — essa é a fórmula que precisamos para responder (a), (b) e (c). Interprete: a intensidade decai exponencialmente com a profundidade.
Passo 3
Resolver a parte (a): encontrar
tal que
.
Começamos da solução encontrada:
Queremos
, então:
Divida ambos os lados por
(não nulo):
Agora aplicamos o logaritmo natural para isolar
. Lembre que
e
. Então:
Portanto
Agora cálculo numérico:
. Dividindo por
:
Interpretação rápida: a intensidade cai pela metade em aproximadamente
metros — menos de meio metro, já deu para ver que a atenuação é forte.
Passo 4
Resolver a parte (b): intensidade a
m como fração de
.
Usamos a fórmula geral:
A fração pedida é
. Agora um valor numérico: podemos calcular
. Uma forma prática é usar que
. Valores conhecidos (aproximados):
Multiplicando:
Então a intensidade a
m é
Ou seja, uma fração extremamente pequena de
(praticamente zero na escala humana).
Passo 5
Resolver a parte (c): encontrar
tal que
.
Novamente da solução:
Dividindo por
:
Aplicando log natural e usando
:
Portanto
Sabendo que
e
, temos
. Assim
Interpretação: para que a intensidade seja apenas
da superfície, você precisa de cerca de
metros de profundidade.