A intensidade I de luz a uma profundidade de x metros abaixo da superfície de um lago satisfaz a equação diferencial dIIdx =(-1,4) I. (a) A que profundidade a intensidade é metade da intensidade I_{0} na superfície (onde x=0 )? (b) Qual a intensidade a uma profundidade de 10 m (como fração de I_{0} )? (c) A que profundidade será a intensidade 1 / 100 daquela na superficie?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial para a intensidade de luz I em função da profundidade x:
\frac{dI}{dx}=(-1,4)\,I.
As perguntas são:
  1. (a) A que profundidade x a intensidade é metade da intensidade I_{0} na superfície (onde x=0)?
  2. (b) Qual a intensidade a uma profundidade de 10 m, expressa como fração de I_{0}?
  3. (c) A que profundidade será a intensidade igual a 1/100 daquela na superfície?
Informações relevantes dadas:
  • A equação diferencial \dfrac{dI}{dx}=(-1,4)\,I. (O coeficiente -1,4 significa -1{,}4.)
  • Condição natural na superfície: I(0)=I_{0}.

Passo 2

Resolveremos a equação diferencial e encontraremos I(x). Vou explicar passo a passo, como você faria na prova.
A equação é do tipo em que a derivada de I é proporcional a I. Podemos usar separação de variáveis: colocar todos os termos com I de um lado e os termos com x do outro. Começamos escrevendo
\frac{dI}{dx} = -1{,}4\,I.
Separe as variáveis dividindo por I (assumindo I\neq 0) e multiplicando por dx:
\frac{1}{I}\,dI = -1{,}4\,dx.
Agora integramos os dois lados. Explico: integrar \frac{1}{I}\,dI \ln|I| porque a derivada do \ln é 1/I. E integrar uma constante em x dá a constante vezes x.
\int \frac{1}{I}\,dI = \int -1{,}4\,dx
\ln|I| = -1{,}4\,x + C,
onde C é a constante de integração. Agora, para remover o logaritmo, aplicamos a exponencial em ambos os lados. Lembre que e^{\ln|I|}=|I| e e^{a+b}=e^a e^b. Assim:
|I| = e^{C}\,e^{-1{,}4 x}.
Podemos escrever e^{C} como uma nova constante positiva A. Como intensidade é positiva, podemos tirar o valor absoluto e escrever simplesmente:
I(x)=A\,e^{-1{,}4 x}.
Agora usamos a condição na superfície I(0)=I_{0} para achar A. Substituindo x=0:
I(0)=A\,e^{0}=A = I_{0}.
Logo, a solução particular é
I(x)=I_{0}\,e^{-1{,}4 x}.
Pronto — essa é a fórmula que precisamos para responder (a), (b) e (c). Interprete: a intensidade decai exponencialmente com a profundidade.

Passo 3

Resolver a parte (a): encontrar x tal que I(x)=\dfrac{I_{0}}{2}.
Começamos da solução encontrada:
I(x)=I_{0}\,e^{-1{,}4 x}.
Queremos I(x)=\dfrac{I_{0}}{2}, então:
I_{0}\,e^{-1{,}4 x} = \frac{I_{0}}{2}.
Divida ambos os lados por I_{0} (não nulo):
e^{-1{,}4 x} = \frac{1}{2}.
Agora aplicamos o logaritmo natural para isolar x. Lembre que \ln(e^y)=y e \ln(1/2)=-\ln 2. Então:
-1{,}4 x = \ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2.
Portanto
x = \frac{\ln 2}{1{,}4}.
Agora cálculo numérico: \ln 2 \approx 0{,}693147. Dividindo por 1{,}4:
x \approx \frac{0{,}693147}{1{,}4} \approx 0{,}4951\\ \text{m}.
Interpretação rápida: a intensidade cai pela metade em aproximadamente 0{,}4951 metros — menos de meio metro, já deu para ver que a atenuação é forte.

Passo 4

Resolver a parte (b): intensidade a 10 m como fração de I_{0}.
Usamos a fórmula geral:
I(10)=I_{0}\,e^{-1{,}4\cdot 10}=I_{0}\,e^{-14}.
A fração pedida é I(10)/I_{0}=e^{-14}. Agora um valor numérico: podemos calcular e^{-14}. Uma forma prática é usar que e^{-14}=e^{-10}e^{-4}. Valores conhecidos (aproximados):
e^{-10}\approx 0{,}00004539993,\qquad e^{-4}\approx 0{,}018315\!.
Multiplicando:
e^{-14}\approx 0{,}00004539993\times 0{,}018315 \approx 8{,}315\times 10^{-7}.
Então a intensidade a 10 m é
I(10)=I_{0}\,e^{-14}\approx I_{0}\times 8{,}315\times 10^{-7}.
Ou seja, uma fração extremamente pequena de I_{0} (praticamente zero na escala humana).

Passo 5

Resolver a parte (c): encontrar x tal que I(x)=\dfrac{1}{100}I_{0}.
Novamente da solução:
I_{0}\,e^{-1{,}4 x} = \frac{I_{0}}{100}.
Dividindo por I_{0}:
e^{-1{,}4 x} = \frac{1}{100}.
Aplicando log natural e usando \ln(1/100)=-\ln 100:
-1{,}4 x = -\ln 100.
Portanto
x = \frac{\ln 100}{1{,}4}.
Sabendo que \ln 100 = \ln(10^2)=2\ln 10 e \ln 10\approx 2{,}302585, temos \ln 100\approx 4{,}605170. Assim
x \approx \frac{4{,}605170}{1{,}4} \approx 3{,}2894\\ \text{m}.
Interpretação: para que a intensidade seja apenas 1/100 da superfície, você precisa de cerca de 3{,}29 metros de profundidade.

Resposta

x\approx 0{,}4951\\ \text{m}
\dfrac{I(10)}{I_{0}}=e^{-14}\approx 8{,}315\times 10^{-7}
x\approx 3{,}2894\\ \text{m}

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