Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
\frac{d y}{d x}+1=2 y ; \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
\frac{dy}{dx}+1=2y
e a condição
y(1)=1.
O que se pede: encontrar uma solução particular explícita y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro reorganizo a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isolando \frac{dy}{dx} e colocando todos os termos com y de um lado. Subtraindo 2y e subtraindo 1 apropriadamente, obtemos
\frac{dy}{dx}-2y=-1.
Aqui escrevi a equação no formato \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) com P(x)=-2 e Q(x)=-1.

Passo 3

Vou usar o método do fator integrante porque é o caminho padrão e direto para resolver equações lineares de primeira ordem como esta. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y.
O fator integrante é dado por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui P(x)=-2, então calculo
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.

Passo 4

Multiplico a equação \frac{dy}{dx}-2y=-1 por \mu(x)=e^{-2x}. Fica
e^{-2x}\frac{dy}{dx}-2e^{-2x}y=-e^{-2x}.
Agora observo que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-2x}y, porque
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)=e^{-2x}\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}\big) = e^{-2x}\frac{dy}{dx}+y(-2e^{-2x}) = e^{-2x}\frac{dy}{dx}-2e^{-2x}y.

Passo 5

Portanto a equação multiplicada fica
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)=-e^{-2x}.
Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-2x}y\big)\,dx=\int -e^{-2x}\,dx.

Passo 6

A integração do lado esquerdo simplesmente recupera e^{-2x}y. Para o lado direito, calculo a integral:
\int -e^{-2x}\,dx = -\int e^{-2x}\,dx.
Como \int e^{-2x}\,dx = \frac{e^{-2x}}{-2}, segue que
-\int e^{-2x}\,dx = -\left(\frac{e^{-2x}}{-2}\right)=\frac{e^{-2x}}{2}.
Assim obtenho, incluindo a constante de integração C,
e^{-2x}y=\frac{e^{-2x}}{2}+C.

Passo 7

Agora isolo y multiplicando por e^{2x}:
y=\frac{1}{2}+C e^{2x}.
Essa é a solução geral da equação diferencial, com C constante arbitrária.

Passo 8

Imponho a condição inicial y(1)=1. Substituo x=1 em y=\frac{1}{2}+C e^{2x}:
1=\frac{1}{2}+C e^{2}.
Isolando C,
C e^{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},
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C=\frac{1}{2}e^{-2}.

Passo 9

Substituo C na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-2}e^{2x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{2x-2}.
Posso escrever de forma mais compacta como
y=\frac{1}{2}\big(1+e^{2(x-1)}\big).

Passo 10

Verificação rápida (útil para a prova): calculo \frac{dy}{dx} a partir de y=\frac{1}{2}+C e^{2x}. Temos
\frac{dy}{dx}=2C e^{2x}.
Como C e^{2x}=y-\tfrac{1}{2}, segue \frac{dy}{dx}=2\big(y-\tfrac{1}{2}\big)=2y-1, e então \frac{dy}{dx}+1=2y, ou seja, a solução satisfaz a equação. Além disso y(1)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}e^{0}=1, então a condição inicial também é satisfeita.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}\big(1+e^{2(x-1)}\big)

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