Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
e a condição
O que se pede: encontrar uma solução particular explícita
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro reorganizo a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isolando
e colocando todos os termos com
de um lado. Subtraindo
e subtraindo
apropriadamente, obtemos
Aqui escrevi a equação no formato
com
e
.
Passo 3
Vou usar o método do fator integrante porque é o caminho padrão e direto para resolver equações lineares de primeira ordem como esta. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto
.
O fator integrante é dado por
Aqui
, então calculo
Passo 4
Multiplico a equação
por
. Fica
Agora observo que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Passo 5
Portanto a equação multiplicada fica
Agora integro ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integração do lado esquerdo simplesmente recupera
. Para o lado direito, calculo a integral:
Como
, segue que
Assim obtenho, incluindo a constante de integração
,
Passo 7
Agora isolo
multiplicando por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial, com
constante arbitrária.
Passo 8
Imponho a condição inicial
. Substituo
em
:
Isolando
,
logo
Passo 9
Substituo
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Posso escrever de forma mais compacta como
Passo 10
Verificação rápida (útil para a prova): calculo
a partir de
. Temos
Como
, segue
, e então
, ou seja, a solução satisfaz a equação. Além disso
, então a condição inicial também é satisfeita.