Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
\frac{d y}{d x}=y e^{\prime} ; y(0)=2 e

Passo 1

O problema fornece a equação diferencial e a condição inicial. As informações são:
\frac{dy}{dx} = y\,e^{x}
e
y(0)=2e.
O que se pede: encontrar a solução particular explícita y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos separar as variáveis para resolver a equação. A ideia de separar variáveis é organizar a equação de forma que todas as expressões envolvendo y fiquem de um lado e todas as que envolvem x fiquem do outro, para então integrar cada lado. Aqui podemos dividir ambos os lados por y, desde que y\neq 0. Como a condição inicial dá y(0)=2e\neq 0, isso é permitido.

Passo 3

Depois de dividir por y obtemos uma expressão separada:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = e^{x}.
Escrevendo isso na forma diferencial (multiplicando por dx):
\frac{dy}{y} = e^{x}\,dx.
Agora cada lado depende só de uma variável: o lado esquerdo só de y e o direito só de x. Pronto para integrar.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Recorde: \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y| + C e \int e^{x}\,dx = e^{x} + C.
Integrando obtemos
\ln|y| = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração (uma única constante, que absorve constantes de ambos os lados).

Passo 5

Isolamos y exponenciando ambos os lados. Lembre que e^{\ln|y|}=|y|. Assim,
|y| = e^{e^{x}+C} = e^{C}\,e^{e^{x}}.
Chamando A=e^{C}>0 (uma constante positiva), obtemos
|y| = A\,e^{e^{x}}.
Agora usamos a condição inicial para determinar o sinal e o valor de A. Como y(0)=2e>0, y é positiva no ponto dado, então podemos remover o valor absoluto:
y = A\,e^{e^{x}}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=2e. Calculamos o lado direito em x=0:
y(0) = A\,e^{e^{0}} = A\,e^{1} = A\,e.
Igualando a 2e obtemos A\,e = 2e, logo A=2. Portanto a solução particular é
y(x) = 2\,e^{e^{x}}.

Passo 7

Vamos checar rapidamente: derivando y(x)=2e^{e^{x}} pelo uso da regra da cadeia, temos
\frac{dy}{dx} = 2\,e^{e^{x}}\cdot \frac{d}{dx}(e^{x}) = 2\,e^{e^{x}}\cdot e^{x}.
Como y=2e^{e^{x}}, isso é \frac{dy}{dx}=y\,e^{x}, que coincide com a equação dada, e já verificamos y(0)=2e. Tudo confere.

Resposta

y(x)=2\,e^{e^{x}}

Exercícios relacionados