Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
Passo 1
O problema fornece a equação diferencial e a condição inicial. As informações são:
e
O que se pede: encontrar a solução particular explícita
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos separar as variáveis para resolver a equação. A ideia de separar variáveis é organizar a equação de forma que todas as expressões envolvendo
fiquem de um lado e todas as que envolvem
fiquem do outro, para então integrar cada lado. Aqui podemos dividir ambos os lados por
, desde que
. Como a condição inicial dá
, isso é permitido.
Passo 3
Depois de dividir por
obtemos uma expressão separada:
Escrevendo isso na forma diferencial (multiplicando por
):
Agora cada lado depende só de uma variável: o lado esquerdo só de
e o direito só de
. Pronto para integrar.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Recorde:
e
.
Integrando obtemos
Integrando obtemos
onde
é a constante de integração (uma única constante, que absorve constantes de ambos os lados).
Passo 5
Isolamos
exponenciando ambos os lados. Lembre que
. Assim,
Chamando
(uma constante positiva), obtemos
Agora usamos a condição inicial para determinar o sinal e o valor de
. Como
,
é positiva no ponto dado, então podemos remover o valor absoluto:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Calculamos o lado direito em
:
Igualando a
obtemos
, logo
. Portanto a solução particular é
Passo 7
Vamos checar rapidamente: derivando
pelo uso da regra da cadeia, temos
Como
, isso é
, que coincide com a equação dada, e já verificamos
. Tudo confere.