(6,0) Calcule a solução de: (cos (x)+ln (y)) d x+(xy+e^y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe: temos a equação diferencial (cos (x)+ln (y)) dx + (xy+e^y) dy = 0. Essa equação está dentro da área de Cálculo Diferencial, mais especificamente nas equações diferenciais exatas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar se uma equação é exata e, se não for, como encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos que multiplicam dx e dy na equação. Chamamos esses termos de M e N, respectivamente. Então temos:
M(x, y) = cos(x) + ln(y)
N(x, y) = xy + e^y

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x, e ver se elas são iguais. Se forem iguais, a equação é exata.
Calculando partial Mpartial y:
partial Mpartial y = ddy [cos(x) + ln(y)] = 0 + 1y = 1y
Calculando partial Npartial x:
partial Npartial x = ddx [xy + e^y] = 1y + 0 = 1y

Passo 4

Como partial Mpartial y = 1y e partial Npartial x = 1y, elas são iguais. Isso significa que a equação diferencial dada é exata. Ou seja, existe uma função potencial Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = M = cos(x) + ln(y)
partial Psipartial y = N = xy + e^y

Passo 5

Para encontrar a função Psi(x, y), integramos M em relação a x:
Psi(x, y) = integral M , dx = integral [cos(x) + ln(y)] , dx = sin(x) + ln(y) cdot x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y, já que a derivada de h(y) em relação a x seria zero.

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição partial Psipartial y = N para encontrar h(y). Calculando a derivada de Psi(x, y) em relação a y:
partial Psipartial y = ddy [sin(x) + x ln(y) + h(y)] = xy + h'(y)
Sabemos que isso deve ser igual a N = xy + e^y. Então:
xy + h'(y) = xy + e^y
Subtraindo xy de ambos os lados:
h'(y) = e^y

Passo 7

Integrando h'(y) em relação a y, encontramos h(y):
h(y) = integral e^y , dy = e^y + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos h(y) de volta na expressão para Psi(x, y):
Psi(x, y) = sin(x) + x ln(y) + e^y + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
sin(x) + x ln(y) + e^y = C
Onde C é a constante de integração.

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