Calcule a solução de:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe: temos a equação diferencial
. Essa equação está dentro da área de Cálculo Diferencial, mais especificamente nas equações diferenciais exatas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar se uma equação é exata e, se não for, como encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos que multiplicam
e
na equação. Chamamos esses termos de
e
, respectivamente. Então temos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e ver se elas são iguais. Se forem iguais, a equação é exata.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Como
e
, elas são iguais. Isso significa que a equação diferencial dada é exata. Ou seja, existe uma função potencial
tal que:
Passo 5
Para encontrar a função
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a derivada de
em relação a
seria zero.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição
para encontrar
. Calculando a derivada de
em relação a
:
Sabemos que isso deve ser igual a
. Então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Integrando
em relação a
, encontramos
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na expressão para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.