Encontre as soluções reais das equações abaixo, caso existam.
\frac{x^{2}}{6}-\frac{24}{9}=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções reais da equação
\frac{x^{2}}{6}-\frac{24}{9}=0.
Informações dadas:
  • A equação é uma equação algébrica envolvendo x^{2} e frações.
  • Quer-se todas as soluções reais x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro simplifico a fração \dfrac{24}{9}. Posso dividir numerador e denominador por 3:
\frac{24}{9}=\frac{24\div3}{9\div3}=\frac{8}{3}.

Passo 3

Substituindo a fração simplificada na equação, obtenho
\frac{x^{2}}{6}-\frac{8}{3}=0.

Passo 4

Isolo o termo com x^{2} passando \dfrac{8}{3} para o outro lado:
\frac{x^{2}}{6}=\frac{8}{3}.

Passo 5

Elimino o denominador multiplicando ambos os lados por 6. Isso é válido porque multiplicar os dois lados de uma igualdade por um mesmo número não altera a igualdade.
x^{2}=6\cdot\frac{8}{3}.
Agora calculo o produto. Faço a simplificação 6\cdot\frac{8}{3}=(6\div3)\cdot8=2\cdot8=16. Logo
x^{2}=16.

Passo 6

Aplico a propriedade básica da raiz quadrada: se x^{2}=a com a\ge0, então x=\pm\sqrt{a}. Aqui a=16\ge0, portanto
x=\pm\sqrt{16}=\pm4.

Passo 7

Faço uma checagem rápida substituindo em \dfrac{x^{2}}{6}-\dfrac{24}{9}:
\text{Para }x=4:\quad \frac{4^{2}}{6}-\frac{24}{9}=\frac{16}{6}-\frac{24}{9}=\frac{8}{3}-\frac{8}{3}=0.
\text{Para }x=-4:\quad \frac{(-4)^{2}}{6}-\frac{24}{9}=\frac{16}{6}-\frac{24}{9}=\frac{8}{3}-\frac{8}{3}=0.
Ambos satisfazem a equação.

Resposta

x=4,\;x=-4

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