Encontre as soluções reais das equações abaixo, caso existam.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as soluções reais da equação
. Informação dada: a equação polinomial em
igual a zero, com termo quadrático na forma de um quadrado perfeito
e constante
. Objetivo: achar todos os valores reais de
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Transformar a equação para uma forma mais simples: como a equação é
, posso isolar o quadrado:
Isto significa que o quadrado de
vale
.
Passo 3
Explicação de duas formas naturais de resolver esse tipo de equação (escolha de método):
- Método A (extração de raiz): quando se tem
com , então . Aqui e , logo . - Método B (fatoração diferença de quadrados): usar a identidade
. Aqui e , então .
Vou aplicar a fatoração (método B) porque é direto e evita lidar com raiz quadrada explicitamente; ambos dão o mesmo resultado.
Passo 4
Aplicando a identidade da diferença de quadrados:
Portanto a equação original vira
Passo 5
Propriedade do produto nulo: se
com
e
números reais, então
ou
. Assim temos duas equações lineares a resolver:
ou
Passo 6
Resolver a primeira linha linear
:
Explanação: isola-se
somando
e dividindo por
.
Passo 7
Resolver a segunda linha linear
:
Mesma ideia: isola-se
subtraindo
e dividindo por
.
Passo 8
Verificação rápida (substituir as soluções na equação original):
- Para
: . - Para
: .
Ambos satisfazem a equação.
Passo 9
Conclusão: as soluções reais da equação são os valores encontrados nos passos anteriores.