Encontre as soluções reais das equações abaixo, caso existam.
(2 x-1)^{2}-25=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções reais da equação (2x-1)^{2}-25=0. Informação dada: a equação polinomial em x igual a zero, com termo quadrático na forma de um quadrado perfeito (2x-1)^{2} e constante 25. Objetivo: achar todos os valores reais de x que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Transformar a equação para uma forma mais simples: como a equação é (2x-1)^{2}-25=0, posso isolar o quadrado:
(2x-1)^{2}=25.
Isto significa que o quadrado de 2x-1 vale 25.

Passo 3

Explicação de duas formas naturais de resolver esse tipo de equação (escolha de método):
  • Método A (extração de raiz): quando se tem \,A^{2}=B com B\ge0, então A=\pm\sqrt{B}. Aqui A=2x-1 e B=25, logo 2x-1=\pm5.
  • Método B (fatoração diferença de quadrados): usar a identidade \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aqui a=2x-1 e b=5, então (2x-1)^{2}-25=(2x-1-5)(2x-1+5).
Vou aplicar a fatoração (método B) porque é direto e evita lidar com raiz quadrada explicitamente; ambos dão o mesmo resultado.

Passo 4

Aplicando a identidade da diferença de quadrados:
(2x-1)^{2}-25=(2x-1-5)(2x-1+5).
Portanto a equação original vira
(2x-6)(2x+4)=0.

Passo 5

Propriedade do produto nulo: se ab=0 com a e b números reais, então a=0 ou b=0. Assim temos duas equações lineares a resolver:
2x-6=0
ou
2x+4=0.

Passo 6

Resolver a primeira linha linear \,2x-6=0:
2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{6}{2}=\;3.
Explanação: isola-se x somando 6 e dividindo por 2.

Passo 7

Resolver a segunda linha linear \,2x+4=0:
2x=-4 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{-4}{2}=-2.
Mesma ideia: isola-se x subtraindo 4 e dividindo por 2.

Passo 8

Verificação rápida (substituir as soluções na equação original):
  • Para x=3: (2\cdot3-1)^{2}-25=(6-1)^{2}-25=5^{2}-25=25-25=0.
  • Para x=-2: (2\cdot(-2)-1)^{2}-25=(-4-1)^{2}-25=(-5)^{2}-25=25-25=0.
    Ambos satisfazem a equação.

Passo 9

Conclusão: as soluções reais da equação são os valores encontrados nos passos anteriores.

Resposta

x=3
x=-2

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