Encontre as soluções reais das equações abaixo, caso existam.
(x+3)^{2}=\frac{1}{9}

Passo 1

O enunciado dá a equação
(x+3)^{2}=\frac{1}{9}
e pede para encontrar as soluções reais dessa equação.
Informações importantes fornecidas:
  • A incógnita é x.
  • A expressão ao quadrado é x+3.
  • O quadrado vale \dfrac{1}{9}, que é um número positivo.
O que se pede: todos os valores reais de x que satisfazem a equação acima.

Passo 2

Idea geral e regra que vamos usar (explicação didática). Se tivermos uma equação da forma
y^{2}=a,
com a\ge 0, então as soluções para y são
y=\pm\sqrt{a},
isto é, tanto \sqrt{a} quanto -\sqrt{a} quando elevados ao quadrado retornam a. Importante: não podemos esquecer do sinal \pm, porque tanto um número positivo quanto o seu negativo têm o mesmo quadrado. Exemplo simples: se y^{2}=4 então y=2 ou y=-2, porque 2^{2}=4 e (-2)^{2}=4.

Passo 3

Aplicando a ideia ao problema: defina
y = x+3.
Então a equação fica
y^{2}=\frac{1}{9}.
Pelo argumento anterior,
y=\pm\sqrt{\frac{1}{9}}.
Calcule a raiz quadrada: \sqrt{\tfrac{1}{9}}=\tfrac{1}{3}. Portanto
y=\pm\frac{1}{3}.

Passo 4

Volte para x substituindo y=x+3.
Caso 1: x+3=\frac{1}{3}. Resolva para x:
x=\frac{1}{3}-3=\frac{1}{3}-\frac{9}{3}=-\frac{8}{3}.
Caso 2: x+3=-\frac{1}{3}. Resolva para x:
x=-\frac{1}{3}-3=-\frac{1}{3}-\frac{9}{3}=-\frac{10}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (substituição) para garantir que não houve erro:
Para x=-\dfrac{8}{3}:
x+3=-\frac{8}{3}+3=-\frac{8}{3}+\frac{9}{3}=\frac{1}{3}, \qquad \left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}.
Para x=-\dfrac{10}{3}:
x+3=-\frac{10}{3}+3=-\frac{10}{3}+\frac{9}{3}=-\frac{1}{3}, \qquad \left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}.
Ambas satisfazem a equação original, ou seja, são soluções válidas.

Resposta

-\dfrac{8}{3}
-\dfrac{10}{3}

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